Симметрические функции

Функция от n переменных х₁, x₂,..., х_n наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x₁²x₂ + x₁²x₃ + х₂²x₁ + x₂²x₃ + x₃²x₁+ x₃²x₂ есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х₁, x₂ и x₃. Эта функция вполне определяется одним членом х₁²x₂ и потому для краткости обозначается через Σx₁²x₂. Подобным же образом С. функции от x₁, x₂, x₃ и х₄

Σx₁²x₂² = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₁²x₄² + x₂²x₃² + x₂²x₄² + x₃²x₄².

С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть

Σx₁ = с₁, Σx₁x₂ = c₂, Σx₁x₂x₃ = c₃,..., х₁x₂...x_n = с_n.

Здесь введены буквы c₁, c₂,..., с_n для обозначения этих функций.

Если x₁, x₂,..., x_n корни уравнения f(x) = xⁿ + p₁x^n—1 + p₂x^n—2 +... + p_n—1x + P_n = 0, то

c₁ = —p₁, c₂ = p₂, c₃ = —p₃,..., c_n =(—1)ⁿp_n.

Всякая целая С. функция от x₁, x₂,..., х_n есть целая функция от с₁, c₂,..., с_n.

Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. S_m = Σx₁^m служат следующие формулы Ньютона

s₁ — с₁ = 0

s₂ — c₁s₁ + 2с₂ =0

s₃ — c₁s₂ + c₂s₁ — 3c₃ = 0

s_n — с₁s_n—1 + c₂s_n—2 —... + (—1)ⁿncⁿ = 0

s_n+k — c₁s_n+k—1 + c₂s_n+k—2 —.... . + (—1)ⁿc_ns_k = 0.

Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы

Σx₁^αx₂^α = 1/2[(s_α)² — s_2α]

Σx₁^αx₂^β = s_αs_β — s_α+β, α не = β

Σx₁^αx₂^αx₃^α = 1/6[s_α³ — 3s_2αs_α + 2s_3α]

Σx₁^αx₂^αx₃^β = 1/2(s_α²s_β — s_2αs_β — 2s_α+βs_α + 2s_2α+β

Σx₁^βx₂^βx₃^γ = s_αs_βs_γ — s_α+βs_γ — s_α+γs_β — s_β+γs_α + 2s_α+β+γ.

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. С.