вывод логический

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ —рассуждение, в котором по определенным правилам осуществляется переход от высказываний или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К В. л. обычно предъявляются (разом или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить отношение логического следования (ту или иную его разновидность), 2) переходы в В. л. должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

В современной логике В. л. определяется для формальных систем, в которых высказывания представлены формулами. Обычно выделяют три основных типа формальных систем: аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода, исчисления секвенций.

Стандартное определение В. л. (из множества формул Г) для аксиоматического исчисления S таково: В. л. в S из множества формул Г есть такая последовательность А_г..А_п формул языка исчисления S, что для каждой А. (1 < i < п) выполняется, по крайней мере, одно из следующих трех условий: 1) А. есть формула из Г; 2) А. есть аксиома исчисления S; 3) А. есть формула, получающаяся из предшествующей ей в последовательности А,... А формулы или из предшествующих ей в этой последовательности формул по правилу вывода исчисления S. Если а есть В. л. в S из множества формул Г, то формулы из Г называются посылками а, а сам вывод называется В. л. в S из посылок Г; если при этом А есть последняя формула а, то а называется В. л. в S формулы А из посылок Г. Запись «Г |- А» означает, что существует В. л. в S формулы А из посылок Г. В. л. в S из пустого множества формул называется доказательством в S. Запись «|- А» означает, что существует доказательство в S формулы А. Формула А называется доказуемой в S, если ч А. В качестве примера рассмотрим аксиоматическое исчисление S со стандартным определением вывода, являющееся вариантом аксиоматизации классической логики высказываний. Алфавит языка L этого исчисления содержит только пропозициональные переменные р , р₂,..., Р _п> — — — > логические связки з, —> и круглые скобки. Определение L-формулы (формулы в языке L) обычное:

1) пропозициональная переменная есть L-формула,

2) если А и В есть L-формулы, то (А з В), (— > А) есть L-формулы,

3) ничто другое не есть L-формула. Аксиомы Sj — это все L-формулы следующих шести

видов (и только этих видов):

I (Аз А),

II ((ADB)D((BDC)3(ADC))),

III ((AD(BDQ)D(BD(ADC))),

IV ((ADhB))D(BDhA))),

V (hhA))DA),

VI (((A s > В) з A) з A). Единственное правило исчисления Sj есть правило

модус поненс в L: А, (А о В) / В (где А и В есть L-формулы).

Определение В. л. для S является очевидной конкретизацией стандартного определения В. л., которое дано выше.

Последовательность ((р₁ з р₂) з (р, з р₂)), (((р, з р₂) з

(Р, => Р₂» ³ (Р, => ((Р, ^э Р ₂ ) ^э Р₂)))> ( P i ³ ((Р, ³ Р ₂ ) ³ Р₂ ) ) > Pi' ((р, з р₂) з р₂) L-формул является В. л. в S, L-формулы ((р_; з р₂) з р₂) из {pj. Действительно, первый член этой последовательности есть аксиома вида I, второй член этой последовательности есть аксиома вида III, третий член этой последовательности получается из первого и второго членов этой последовательности по правилу модус поненс в L, четвертый член этой последовательности есть L-формула из {р }, пятый член этой последовательности получается из четвертого и третьего членов этой последовательности по правилу модус поненс в L. Итак, {р,} (-₅₁((р,зр₂)зр₂).

В ряде случаев В. л. определяется так, что использование в нем некоторых правил ограничивается. Напр., для некоторых аксиоматических исчислений, являющихся вариантами аксиоматизации классической логики предикатов первого порядка и содержащих среди правил вывода правило обобщения, В. л. иногда определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение, запрещающее применение в В. л. правила обобщения по переменной, входящей хотя бы в одну посылку данного В. л.

Известны В. л. (как для аксиоматических исчислений, так и для исчислений других типов) не только из множеств формул, но и из других систем формул (напр., из последовательностей формул, из списков формул). Исследуются В. л., не имеющие линейной структуры (любой В. л., удовлетворяющий стандартному определению В. л., имеет линейную структуру, ибо является последовательностью формул), а имеющие, напр., древовидную структуру. Рассматриваются В. л., содержащие формализацию зависимостей между входящими в них формулами, и многие другие В. л. Наличие большого числа разновидностей В. л. обусловлено как множественностью логик, так и многообразием задач, решаемых при их формализации.

В.М. Попов