Ангармоническое отношение точек

Ангармоническое отношение четырех точек А, В, С, D по одной прямой есть частное отношений расстояний двух из них от двух других, напр. CA/CB : DA/DB; короче оно пишется (AB CD), или DA/DC : BA/BC = (AC DB). Таких выражений можно составить 6. Главное значение А. отношения в теории подобия фигур происходит вследствие следующего свойства его: если пучок четырех прямых пересечен двумя трансверсалями, то А. отношение каждого ряда точек пересечения трансверсалей с лучами пучка постоянно. Это отношение называется поэтому А. отношением пучка. Если О — вершина пучка, то А. отношение его означается (О. ABCD). Оно составляется из отношения синусов углов, заключенных между прямыми, а именно (О. ABCD) = (sinCOA/sinCOB) : (sinDOA/sinDOB).

Теоремы относительно А. отношения: А. отношение пучка, проходящего через четыре точки окружности круга, вершина которого лежит на той же окружности, постоянно. А. отношение ряда точек пересечения четырех постоянных касательных круга с произвольною пятою касательною — постоянно и равно А. отношению четырех точек касания относительно произвольной точки окружности и др.

Аналитически А. отношение пучка прямых x₁ = kx₂, x₁ = lx₃, x₁ = mx₃, x₁ = nx₃ есть

[(k — 1)/(n — 1)]:[(k — m)/(n — m)]

Если А. отношение = —1, то оно приобретает название гармонического (см. это сл.). Вместо А. отношения его называют также двойным отношением (Doppelverhältniss). Ср. Шарль, "Traité de géométrie supérieure".