Арифметически-геометрическая средняя

А.-геометрическая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и g < a. Составим их арифметическую среднюю a₁ и геометрическую среднюю g₁, т. е. найдем a₁ = 1/2(a+g) и g₁ = √(ag). Таким же образом составим a₂ = 1/2(a₁+g₁) и g₂ = √(a₁g₁) и т. д. Числа a, a₁, a₂… и g, g₁, g₂… будут представлять убывающий ряд, вторые возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-геометрическая средняя. Означим ее AG. Напр. а = 2 g = 1. Последовательно находим

a₁ = 1.5000000 g₁ = 1.4132136

а₂ = 1.3737734 g₂ = 1.3731462

а₃ = 1.3734598 g₃ = 1.3734596

а₄ = 1.3734597 g₄ = 1.3734597

Итак, AG(2₁1) = 1.3734597

А.-геометрическая средняя играет роль в вычислении эллиптических интегралов. А именно, Гадес показал, что

2K/π = 1 : AG(1 + k, 1 — k).

Он же вычислил таблицу AG между единицей и синусами углов от 0 до 90° через полуградус (Гаусс, "Werke", Bd. III).