Гессиан

Функциональным определителем n функций: f₁, f₂, f₃,.. . f_n от n независимых переменных x₁, x₂, x₃ ... x_n называется определитель вида:

df₁/dx₁, df₁/dx₂,.. . df₁/dx_n

df₂/dx₁, df₂/dx₂,.. . df₂/dx_n

......................................

......................................

df_n/dx₁, df_n/dx₂,.. . df_n/dx_n

Если теперь под функциями f₁, f₂,.. . f_n мы будем разуметь частные произведения некоторой функции U от n независимых переменных x₁, x₂,.. . x_n, так что

f₁ = dU/dx₁, f₂ = dU/dx₂, f₃ = dU/dx₃,.. ., f_n = dU/dx_n,

то указанный определитель есть так называемый гессиан функции U относительно независимых переменных х₁, х₂, x₃,.. . x_n.

Такого рода определитель ввел в рассмотрение проф. Гессе в теории алгебраических линий на плоскости и алгебраических поверхностей, причем он доказал две весьма примечательные теоремы. 1) Если уравнение U = 0 в однородных координатах (см. Координаты) определяет некоторую кривую n-ого порядка, где, очевидно, U есть однородная функция n-ой степени относительно трех координат х₁, х₂, х₃, то условие необходимое и достаточное, чтобы эта кривая была системой n прямых линий, выходящих из одной и той же точки, состоит в том, чтобы гессиан функции U, взятый относительно координат х₁, х₂, х₃, тождественно равнялся нулю. 2) Если уравнение U = 0 в однородных координатах определяет некоторую алгебраическую поверхность в пространстве, где, очевидно, U есть однородная функция некоторой n-ой степени относительно четырех координат х₁, х₂, х₃, x₄, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эта поверхность была конусом, состоит с тождественном уничтожении гессиана функции U относительно сказанных координат х₁, х₂, х₃, x₄.