Угол

(мат.). — Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1).

Угол

Черт. 1.

Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла.

Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β₁Ο₁Α₁. Наложим их так, чтобы вершины О и 0₁ совпали и чтобы сторона O₁A₁ совпала со стороной ОА. Если при этом сторона О₁В₁ совпадет со стороной 0В, то говорят, что углы ΒΟΑ и В₁О₁А₁ равны.

Угол. Рис. 1

Черт. 2.

Если сторона О₁В₁ пойдет внутри угла BOA (черт. 2), то угол АОВ больше угла В₁О₁А₁. Если же чертеж имеет вид (черт. 3), то угол АОВ меньше угла А₁О₁В₁.

Угол. Рис. 2

Черт. 3.

Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, наз. прилежащими, таковы, напр., углы АОВ и BOC (черт. 4).

Угол. Рис. 3

Черт. 4.

Стороны ОА и ОС наз. внешними сторонами прилежащих углов.

Смежными углами наз. такие прилежащие углы, внешние стороны которых составляют одну прямую (черт. 5).

Угол. Рис. 4

Черт. 5.

Угол наз. прямым, если он равен углу смежному из ним (черт. 6).

Говорят, что прямая ОВ (черт. 6) перпендикулярна к прямой СА, если она образует равные смежные углы АОВ и СОВ.

Угол. Рис. 5

Черт. 6.

Все прямые углы равны между собой. Угол больший прямого наз. тупым, а меньший прямого — острым. Если построим два прилежащих угла так, чтобы один из них равнялся углу АОВ, а другой углу А₁О₁В₁, то внешние стороны этих прилежащих углов образуют угол равный сумме углов АОВ и Α₁Ο₁Β₁.

Сумма смежных углов равна двум прямым.

Если из точки О на плоскости проведем несколько лучей, напр. ОА, ОВ, ОС, OD и OE (черт. 7), то получим углы ВОА, ВОС, COD, DOE и ЕОА, сумма которых равна четырем прямым.

Угол. Рис. 6

Черт. 7.

Две пересекающиеся прямые AB и CD (черт. 8) образуют четыре угла a, b, с, d.

Угол. Рис. 7

Черт. 8.

Из них а и b смежные; углы же а и d или же b и с наз. вертикальными. Существуют равенства:

а = d и b = с.

Угол. Рис. 8

Черт. 9.

Углы, образованные двумя прямыми AB и CD при пересечении третьей прямою EF (черт. 9) имеют особые названия.

Такие углы, как а и е, называются соответственными

Такие углы, как с и f, называются внутренними накрест лежащими

Такие углы, как a и h, называются внешними накрест лежащими

Такие углы, как c и e, называются внутренними односторонними

Такие углы, как a и g, называются внешними односторонними.

Для того чтобы прямые AB и CD были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из равенств вида

a = е, с = f, a = h, с + е = двум прямым, а + g = двум прямым.

Представим себе круг, в центре которого О находится вершина угла. Если стороны угла проходит через точки А и B, лежащие на окружности, то угол А ОВ измеряется дугою AB. Мерою угла служит отвлеченное число, равное отношению дуги AB к радиусу круга. Угол выражают также в градусах. Если, напр., угол АОВ содержит один градус, то это значит, что дуга AB составляет одну 360-ую часть окружности.

Угол, вершина которого находится в центре круга, наз. центральным. Если же вершина угла находится на окружности в точке А, а стороны проходят через точки В и С, лежащие на окружности, то угол ВАС называется вписанным. Этот угол измеряется половиною дуги ВС. Если же вершина угла находится вне круга, а стороны AB и АС касаются круга в точках В и С, то угол называется описанным. Он измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны. В пространстве прямые могут не пересекаться и в то же время не быть параллельными. Предположим, что прямые а и b не пересекаются и не параллельны. Углом между этими прямыми назыв. тот угол, который получим, проведя из какой-нибудь точки пространства О прямые ОА и ОВ, параллельные прямым а и b.

Предположим, что прямая AB пересекает плоскость P в точке А (черт. 10).

Угол. Рис. 9

Черт. 10.

Если окажется, что две прямые АС и AD, проведенные на плоскости P через точку А, перпендикулярны к AB, то и всякая прямая АЕ, находящаяся в плоскости Р, будет перпендикулярна к AB. В этом случае говорят, что прямая AB перпендикулярна к плоскости Р.

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей назыв. ребром двугранного угла; плоскости, образующие угол, назыв. сторонами угла.

Предположим, что плоскости АР и BQ пересекаются по прямой AB (черт. 11).

Угол. Рис. 10

Черт. 11.

Возьмем на ребре AB какую-нибудь точку С и проведем в плоскостях АР и BQ прямые CD и СЕ, перпендикулярные к AB. Получим угол ECD, который назыв. линейным углом двугранного угла QABP.

Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным У. Если угол ECD (черт. 11) прямой, то и двугранный У. прямой. В этом случае говорят, что плоскость АР перпендикулярна к плоскости BQ.

Если прямая AB перпендикулярна к плоскости P (черт. 10), то всякая плоскость, проходящая через AB, будет перпендикулярна к плоскости Р.

Предположим, что дана плоскость P и прямая AB (черт. 12).

Угол. Рис. 11

Черт. 12.

Проведем через AB плоскость, перпендикулярную к Р. Пусть эти плоскости пересекаются по прямой CD. Углом прямой AB с плоскостью P назыв. угол, образованный прямыми AB и CD.

Несколько плоскостей, проходящих через точку О и пересекающихся по прямым О А, 0В, ОС, OD и ОЕ, образуют многогранный угол, точка О назыв. вершиной, плоскости BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — гранями, прямые ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ — ребрами, углы BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — плоскими углами многогранного угла.

Многогранный угол назыв. выпуклым, если он весь расположен по одну сторону каждой из его граней.

В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4-х прямых.

Д. С.

Источник: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона на Gufo.me

Угол

Значения в других словарях