Эллиптические интегралы и функции
Э. интегралами называются все квадратуры вида:
∫ f(x,√ X)dx,
где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть
какая-либо рациональная функция от х и √X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.
Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:
| Φ | |
|------------------------------------------------|
| F(φ) = ∫ | dφ/Δφ, (1) |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
где Δφ означает корень:
Δφ = √(1—k 2Sin2φ).
Значит F есть функция от φ, верхнего предела φ, заключающая в себе еще постоянную величину k, называемую модулем.
Если положим х = Sinφ, то интеграл F(φ), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:
| x | |
|----------------------------------------------------------------------------|
| u = ∫ | dx/ [√(1—x2)(1— k2x2 )] = F(φ) |
|----------------------------------------------------------------------------|
| 0 | |
Так как u есть функция от φ, то, обратно, φ есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: φ = am( u, k) или просто φ = am u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция amu возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда φ достигает величин ½, π, 3/2 π, 2π,...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K..., где
| π/2 | |
|------------------------------------------------|
| K = ∫ | dφ/Δφ, (2) |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
Величины х = Sinφ, √(1—х2) = Cosφ и Δφ суть Э. функции от и; так как φ = amu, то:
х = Π (и,а) = A; √(1—x2) = Cos am u,
√(1—k2x2 ) = Δ amu;
эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:
dφ = d.amu = du.Δφ = Δamu.du. (3)
Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:
| φ | |
|------------------------------------------------|
| E(φ) = ∫ | Δφ dφ, (4) |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
а если, согласно предыдущему, ввести вместо dφ выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:
| u | |
|------------------------------------------------|
| E(u) = ∫ | Δ2amu du, (5) |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
При φ равном ½π, когда u (по формуле (2)) обращается в K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:
| π/2 | |
|------------------------------------------------|
| E = ∫ | Δφ dφ, (6) |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
а по формуле (5):
Е = Е(К).
Дополнительным модулем назыв. величина k', квадрат которой равен (1— k2), так что
k2 + (k')2 = 1. Означим через Δ1φ следующий корень:
Δ1φ = √ [1 — (k)2 Sin2 φ]
и составим следующие интегралы:
| π/2 | |
|------------------------------------------------|
| K' = ∫ | dφ/Δ1φ, |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
|------------------------------------------------|
| π/2 | |
|------------------------------------------------|
| E = ∫ | Δφ dφ, |
|------------------------------------------------|
| 0 | |
Лежандр показал, что между четырьмя величинами K, Е, К' и E существует следующая зависимость:
KE' + K'E—KK' = ½π (7).
Интегралы третьего рода имеют такой вид:
| φ | |
|---------------------------------------------------------|
| ∫ | dφ/[(1— nSin2φ)Δφ] |
|---------------------------------------------------------|
| 0 | |
Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:
| u | |
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Π (и,а) = A ∫ | Sin2amu x du /[(1— k2 Sin2amaSin2am u] (8) |
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0 | |
где А = k2 Sin am a Cos am а Δ am а.
Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции Θ(u) или θ(x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:
Θ (и) = 1 — 2qCos2x + 2q4Cos4x — 2q9Cos3x + 2q16Cos8x —... (9)
или в виде суммы бесконечного числа членов
Θ(u) = θ(x) = ∑(—1)nqn2e2nxi... (10).
Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:
x = πu/2K, q = exp(—πK'/K), i = √(—1),
n в сумме ∑ означает всякие целые полож. и отриц. числа от —∞ до + ∞.
При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:
E(u) = (E/K) u + Θ'(u)/Θ(u)... (11)
Π( (u,a) = u Θ(a)/Θ'(a[ ) + ½ logΘ(u—a)/Θ(u + a)], (12),
где Θ'(u) означает производную от Θ(u) по u.
Из функции θ(х) Якоби составляет еще три функции следующим образом.
Если прибавить к и величину K, то к х прибавится величина π/2, а если прибавить к u величину (— iK'), то к х прибавится 1/2 ilogq. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:
θ1(х) = isθ(x + 1/2 ilogq)
θ2(х) = sθ(x + π/2 + ½ ilogq)
θ3(x) = θ (x + π/3),
где s = (q)1/4 e —x.
В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:
Sin am u = (√k) -1[θ1(x)/θ (x)],
Cos am u = √(k'/k) θ2(x)/θ(x),
Δam u = √k' [θ3(x)/θ(x)],
где x = πu/2K.
Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.
Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi, где Х и Y будут функциями от x и у, т. е.:
Х = f1(x, y,), Y = f2(x, y).
Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период 2К параллельно оси абсцисс и другой период 2К' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2K'), (x + 2K, у + 2К') одинаковы.
Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:
| ∞ | |
|--------------------------------------------------------------------------|
| и = ∫ | dy /[√(4y3 — g2y — g3 )] ... (13) |
|--------------------------------------------------------------------------|
| 0 | |
Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u; эту функцию обозначим так: s = pu;
квадрат её производной по u выразится так:
(p'u)2 = (dpu/du)2 = 4(pu)3 — g2pu — g3. (14).
Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:
4[(pu — e1)(pu — e2)(pu — e3)],
где е1, е2, е3 суть три корня уравнения третьей степени 4y3—g2y —g3 = 0. Величины g2 и g3 называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение
Δ = g32—27g32
называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. Δ>0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е1 больший, через е2 средний и через е3 меньший корень, причем е1 положительная величина, е3 — величина отрицательная. Сумма е1 + е2 + е3 равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е2, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е1. В этом случае, конечно, также е1 + е2 + е3 = 0.
Функция pu имеет два примитивные периода
| ∞ | |
|------------------------------------------------------------------------------------------|
| 2ω1 = ∫ | dy /[√(4y3 —g2y —g3 )] = 2K/[√(e1 — e3 )] |
|------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0 | |
и 2ω3 = 2K/[√(e1 — e3 )],
причем рω1 = е1, рω3 = е3, а если положить ω2 = ω1 + ω3, то рω2 = е2.
Величины k2 и k'2 выражаются так:
k2 = (е2—е3 )/ (е1—е3), (k')2 = (е1—е2 )/(е1—е3).
Когда k2 есть действительная величина, то точки 0, 2ω1, 2ω3 находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.
Когда k2 есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2ω1, 2ω3, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k2 отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.
Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:
pu = e3(e1—e3)/ [Sin2am(u√(e1—e2)];
отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции.
Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию σu, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:
pu = (d2/du2 ) log(σu).
Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Durège, "Theorie der elliptischen Functionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Traité des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la théorie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).
Д. Б.
