Бирациональное преобразование

Бирациона́льное преобразова́ние

Точечное преобразование плоскости, при котором любая точка Р преобразуется в точку Р' так, что координаты точки P' рационально выражаются через координаты точки Р и, наоборот, координаты точки Р рационально выражаются через координаты точки P'. Например, взаимно однозначное Б. п. всей проективной плоскости (См. Проективная плоскость) на себя в однородных координатах х, у, t имеет вид:

x' = ax + by + ct;

y' = dx + еу + ft;

t’ = gx + hy + it.

В алгебраической геометрии (См. Алгебраическая геометрия) широко используются Б. п. кривой в кривую, т. е. такие преобразования, при которых координаты точек преобразованной кривой рационально выражаются через координаты точек данной кривой и наоборот. Например, преобразование x'=x², у'=у² является Б. п. прямой ax+by=1 в параболу 4b²y'=(а²х—b²y'—1)². Т. о., парабола является уникурсальной кривой (См. Уникурсальная кривая), т. е. кривой, которая допускает Б. п. в прямую.

Лит.: Уокер P., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.

Э. Г. Позняк.