Варинга проблема

Ва́ринга проблема

Проблема теории чисел, сформулированная (без доказательства) английским математиком Э. Варингом в 1770; любое целое число Ni может быть представлено в виде суммы:

N=a₁ⁿ+...+aⁿ_k

некоторого числа k слагаемых, каждое из которых есть n-я степень целого положительного числа, причём число слагаемых k зависит только от n. Частным случаем В. п. является теорема Лагранжа о том, что каждое N есть сумма четырёх квадратов. Первое общее (для любого n) решение В. п. дано Д. Гильбертом (1909) с очень грубой оценкой количества слагаемых k в зависимости от п. Более точные оценки k получены в 20-х гг. 20 в. Г. Харди и Дж. Литлвудом, а в 1934 И. М. Виноградовым с помощью созданного им метода тригонометрических сумм были получены результаты, близкие к окончательным. Элементарное решение В. п. дано в 1942 Ю. В. Линником. Особое значение В. п. состоит в том, что при её исследовании были созданы мощные методы аналитической теории чисел.

Лит.: Хинчин А. Я., Три жемчужины теории чисел, 2 изд., М. — Л., 1948; Виноградов И. М., Избранные труды, М., 1952.

А. А. Карацуба.