Дисперсионный анализ

I

Дисперсио́нный ана́лиз

в математике, статистический метод выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента. Первоначально Д. а. был предложен английским статистиком Р. Фишером (1925) для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий, при которых испытываемый сорт с.-х. культуры даёт максимальный урожай. Современные приложения Д. а. охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях. Если значения неизвестных постоянных a₁,...., a_n могут быть измерены с помощью различных методов или измерительных средств M₁,..., М_m и в каждом случае систематическая ошибка может зависеть как от выбранного метода, так и от неизвестного измеряемого значения a_i, то результаты измерений x_ij представляют собой суммы вида

x_ij = a_i, + b_ij + δ_ij,

i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m,

где b_ij — систематическая ошибка, возникающая при измерении a_i по методу M_j, δ_ij — случайная ошибка. Такая модель называется двухфакторной схемой Д. а. (первый фактор — измеряемая величина, второй — метод измерения). Дисперсии (См. Дисперсия) эмпирических распределений, соответствующих множествам случайных величин

x_ij, x_ij — x_{i *}- x _*j + x _**, x_{i *} и x _*j, где

выражаются формулами:

Эти дисперсии удовлетворяют тождеству

s² = s²₀ + s²₁ + s²₂,

которое и объясняет происхождение названия Д. а.

Если величины систематических ошибок не зависят от метода измерений (т. е. между методами измерений нет систематических расхождений), то отношение s²₂/s²₀ близко к единице. Это свойство лежит в основе критерия для статистического выявления систематических расхождений: если s²₂ls²₀ значимо отличается от единицы, то гипотеза об отсутствии систематических расхождений отвергается. Значимость отличия определяется в согласии с законом распределения вероятностей случайных ошибок измерений. В частности, если все измерения равноточны и случайные ошибки подчиняются нормальному распределению, то критические значения для отношения s²₂/s²₀ определяются с помощью таблиц так называемого F-распределения (распределения дисперсионного отношения).

Изложенная схема позволяет лишь обнаружить наличие систематических расхождений и, вообще говоря, непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях (при повторных реализациях указанной схемы).

Лит.: Шеффе Г., Дисперсионный анализ, пер. с англ., М., 1963; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 2 изд., М., 1965.

Л. Н. Большев.

II

Дисперсио́нный ана́лиз

в химии, совокупность методов определения дисперсности (См. Дисперсность), т. е. характеристики размеров частиц в дисперсных системах. Д. а. включает различные способы определения размеров свободных частиц в жидких и газовых средах, размеров каналов-пор в тонкопористых телах (в этом случае вместо понятия дисперсности используют равнозначное понятие пористости), а также удельной поверхности. Одни из методов Д. а. позволяют получать полную картину распределения частиц (пор) по размерам (объёмам), а другие дают лишь усреднённую характеристику дисперсности (пористости).

К первой группе относятся, например, методы определения размеров отдельных частиц непосредственным измерением (ситовой анализ, оптическая и электронная микроскопия) или по косвенным данным: скорости оседания частиц в вязкой среде (Седиментационный анализ в гравитационном поле и в центрифугах), величине импульсов электрического тока, возникающих при прохождении частиц через отверстие в непроводящей перегородке (кондуктометрический метод, см. Коултера прибор), или др. показателям.

Вторая группа методов объединяет оценку средних размеров свободных частиц и определение удельной поверхности порошков и пористых тел. Средний размер частиц находят по интенсивности рассеянного света (Нефелометрия), с помощью ультрамикроскопа, методами диффузии и т.д.; удельную поверхность — по адсорбции газов (паров) или растворённых веществ, по газопроницаемости, скорости растворения и др. способами. Ниже приведены границы применимости различных методов Д. а. (размеры частиц в м):

Ситовой анализ..................................................10^-2—10^-4

Седиментационный анализ

в гравитационном поле.....................................10^-4—10^-6

Кондуктометрический метод............................10^-4—10^-6

Микроскопия........................................…..........10^-4—10^-7

Метод фильтрации.............................…............10^-5—10^-7

Центрифугирование....................…...................10^-6—10^-8

Ультрацентрифугирование...........….................10^-7—10^-9

Ультрамикроскопия...........................................10^-7—10^-9

Нефелометрия....................................…............10^-7—10^-9

Электронная микроскопия................................10^-7—10^-9

Метод диффузии................................................10^-7—10^-10

Д. а. широко используют в различных областях науки и промышленного производства для оценки дисперсности систем (суспензий, эмульсий, золей, порошков, адсорбентов и т.д.) с величиной частиц от нескольких миллиметров (10^-3 м) до нескольких нанометров (10^-9 м).

Лит.: Фигуровский Н. А., Седиментометрический анализ, М. — Л., 1948; Ходаков Г. С., Основные методы дисперсионного анализа порошков, М., 1968; Коузов П. А., Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельченных материалов, Л., 1971; Рабинович Ф. М., Кондуктометрический метод дисперсионного анализа, Л., 1970; Irani R. R., Callis C. F., Particle size, Measurement, interpretation and application, N. Y. — L., 1963.