Интегральные уравнения

Интегра́льные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А, занимающего отрезок 0 ≤ x ≤ l оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(x). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x₁; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 ≤ x₁ ≤ l . Если дифференциально малый участок (х, х + Δх) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(x₁, x)u(x)dx, где функция K(x₁, x) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v(x₁) изображения или «точного» фотографического изображения [v(x) = ku(x), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u(x) — v(x) = f(x)], приходят к различным И. у. относительно функции u(x):

Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,—уравнение вида

[при f (x) ≡ 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром λ:

Во всех уравнениях функция

— так называемое ядро И. у. — известна, так же, как функция f (x) (а ≤ х ≤ b); искомой является функция u(x) (а ≤ х ≤ b).

Функции K(x, y), f (x), u(x) и параметр уравнения λ могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K(x, y) обращается в нуль при у > х, получается уравнение Вольтерра:

И. у. называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K(x, y) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а ≤ х ≤ b, а ≤ y ≤ b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида

или

Линейные И. у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u(x) получается в виде ряда по степеням λ (сходящегося в некотором круге |λ|<K) с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра — Неймана); 2) решение u(x), при тех значениях λ, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от λ (метод Фредгольма); 3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К(х, y) ≡ К(у, x), решение u(x) выражается в виде ряда по ортогональным функциям u_к(х), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения

(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра λ = λ_к, k = 1, 2, ...) (метод Гильберта — Шмидта); 4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования (См. Лапласа преобразование); 5) в случае, когда

(так называемое вырожденное ядро), отыскание u(х) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К(х, y) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К(х, у). К И. у. часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962.

Д. А. Васильков.