Коши — Адамара теорема

Коши́ — Адамара теорема

Теорема теории аналитических функций, позволяющая судить о сходимости степенного ряда

a₀+a₁(z—z₀)+...+a_n (z—z₀) ⁿ+...,

где a₀, a₁,..., a_n — фиксированные комплексные числа, a z — комплексное переменное. К.—А. т. гласит: если верхний Предел

,

то при ρ = ∞ ряд абсолютно сходится во всей плоскости; при ρ = 0 ряд сходится только в точке z = z₀ и расходится при z ≠ z_o; наконец, в случае, когда 0 < ρ < ∞ ряд абсолютно сходится в круге |z—z₀| < ρ и расходится вне этого круга. Эта теорема была установлена О. Коши (1821) и вновь доказана Ж. Адамаром (1888), указавшим на её важные приложения.