Лежандра преобразование

Лежа́ндра преобразова́ние

Частный случай прикосновения преобразований (См. Прикосновения преобразования); имеет вид:

Х = у'(х), Y(X) = xy'(x) — y(x), Y'(X) = x. Из этих формул вытекает, что и обратно x = Y'(X), y(x) = XY'(X)-Y(X), у'(х)=Х. Таким образом, Л. п. двойственно самому себе. Л. п. переводит дифференциальное уравнение первого порядка

F(x, y, y') = 0 (1)

в уравнение

F(Y', XY'-Y, x) = 0, (2)

которое иногда интегрируется проще исходного. Зная решение уравнения (2), можно получить решение уравнения (1). Л. п. употребляется также при рассмотрении дифференциальных уравнений гидродинамики. Л. п. получило своё название по имени А. Лежандра, впервые изучившего его (1789).