Параллельное перенесение

Паралле́льное перенесе́ние

Обобщение понятия параллельного переноса (См. Параллельный перенос) на пространства более сложной структуры, чем евклидовы (например, так называемые пространства афинной связности и, в частности, римановы пространства (См. Риманово пространство)). П. п. позволяет сравнивать геометрические образы, относящиеся к различным точкам пространства.

На поверхности Σ в трёхмерном евклидовом пространстве (являющейся двумерным римановым пространством) П. п. определяется следующим образом. Пусть γ — кривая на поверхности Σ, А и В— концы γ; S — развёртывающаяся поверхность, которая является огибающей семейства касательных плоскостей, построенных в точках кривой γ (см. рис.). Тогда П. п. вектора а, заданного в касательной плоскости П_А в точке А, называется параллельный перенос этого вектора по развёрнутой на плоскость поверхности S с последующим приложением S к γ. На рис. вектор а* представляет собой результат П. п. вектора а по поверхности Σ вдоль γ. П. п. можно рассматривать как некоторое линейное преобразование касательной плоскости П_А в точке А в касательную плоскость Пв в точке В. Такое преобразование может быть описано с помощью формул, зависящих от Кристоффеля символов. Эти формулы обобщаются на римановы пространства большей размерности и на пространства аффинной связности; символы Кристоффеля соответственно могут быть вычислены с помощью метрического тензора (см. Риманова геометрия) или задаются как исходные величины теории.

Вообще говоря, результат П. п. вектора зависит не только от исходного вектора, начальной и конечной точек перенесения, но и от выбора самого пути перенесения.

Если результат П. п. вектора не зависит от выбора пути, то пространство (по крайней мере, в достаточно малой окрестности) является аффинным или евклидовым и понятие П. п. совпадает с понятием параллельного переноса. См. также Связность и лит. при этой статье.

Д. Д. Соколов.

Рис. к ст. Параллельное перенесение.