Перевала метод

Перева́ла метод

Метод нахождения асимптотических выражений (См. Асимптотическое выражение) некоторых интегралов. Многие специальные функции (например, Цилиндрические функции, Сферические функции и др.) выражаются интегралами вида

(*)

где f (τ) = u (х, у) + iυ(x, y) — аналитическая функция от τ = х + iy такая, что u (х, у) стремится к — ∞ при приближении к концам контура С. Для вычисления этих интегралов при больших положительных значениях z применяется П. м. Он состоит в том, что контур С деформируют в контур C', имеющий те же концы, что и С, и проходящий через нуль τ₀ функции f'(τ) по кривой вида υ(x, y) = const (по теореме Коши значение интеграла не меняется при деформации контура). На поверхности t = u (х, у) контур C' изобразится путём, проходящим через точку перевала этой поверхности (отсюда название метода) так, что по обе стороны этой точки путь как можно более круто спускается к большим отрицательным значениям u (х, у). Поэтому при действительном положительном z существенное влияние на значение интеграла (*) оказывает лишь ближайшая окрестность точки τ₀, и это обстоятельство может быть использовано для получения асимптотического выражений интеграла, например заменой функции f (τ) в окрестности точки то отрезком её ряда Тейлора.

П. м., как правило, даёт возможность найти весь асимптотический ряд для интеграла (*).

Если подинтегральная функция многозначна, то при деформации контура приходится считаться с разрезами, возникающими в результате неоднозначности, и часть пути направлять вдоль разрезов. П. м. применяется и к вычислению интегралов вида

.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969.