Производящая функция

Производя́щая функция

Последовательности f₀, f₁..., f_n... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t ≠ 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f₀, f₁..., f_n... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t, но и от аргументов функций f_n. Например, если f_n = aqⁿ где а и q — постоянные, то П. ф.

если f_n — Фибоначчи числа; f₀ = 0, f₁ = 1, f_n+2 = f_n+1 + f_n, то П. ф.

если f_n = Т _n (х) — Чебышева многочлены: T₀ (х) = 1, T_n (х) = cos (n arc cos x), то П. ф.

и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949.