Римана сфера

Ри́мана сфера

Одно из возможных геометрических изображений совокупности комплексных чисел (См. Комплексные числа), введённое Б. Риманом. Комплексное число

z = х + iy = r (cos φ + i sin φ) = re^iφ

можно изображать точками на плоскости (комплексной числовой плоскости) с декартовыми координатами х, у или полярными r, φ. Для построения Р. с. проводится сфера, касающаяся комплексной числовой плоскости в начале координат; точки комплексной числовой плоскости отображаются на поверхность сферы с помощью стереографической проекции (См. Стереографическая проекция). В этом случае каждое комплексное число изображается соответствующей точкой сферы; последняя и называется сферой Римана. Число О изобразится при этом южным полюсом Р. с.; числа с одинаковым аргументом φ = const (лучи комплексной числовой плоскости) изобразятся меридианами, а числа с одинаковым модулем r = const (окружности комплексной числовой плоскости) — параллелями Р. с. Северному полюсу Р. с. не соответствует никакая точка комплексной числовой плоскости. В целях сохранения взаимной однозначности соответствия между точками комплексной числовой плоскости и Р. с. на плоскости вводят «бесконечно удалённую точку», которую считают соответствующей северному полюсу и обозначают z = ∞ Т. о., на комплексной числовой плоскости имеется одна бесконечно удалённая точка, в отличие от проективной плоскости.

Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат ξ, η, ζ так, что оси ξ и η совпадают, соответственно, с осями х и у, то точке x + iy комплексной числовой плоскости соответствует точка

,

,

Р. с. (уравнение которой ).