Тейлора формула

Те́йлора формула

Формула

изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) → 0 при х → а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x) можно представить в видах:

,

где ξ и ξ₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а Соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М.. 1953; Фихтенгольц Г. М.. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М.. 1969.