Характеристика

I

Характери́стика

в математике, 1) целая часть десятичного Логарифма.

2) Понятие теории дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения) с частными производными.

Х. дифференциального уравнения 1-го порядка

, (1)

где Р = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) — заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений

. (2)

Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик φ(x, y, z) = C₁, ψ(x, y, z) = C₂ (C₁, C₂ — произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {P, Q, R}. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Х., пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F[φ(x, y, z), ψ(x, y, z)] = 0, где F — некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача), достаточно построить геометрическое место Х., пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Х. Понятие Х. обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.

Х. дифференциального уравнения 2-го порядка

(3)

были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение

. (4)

Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями ξ(x, y) = C₁ и η(х, у) = C₂ (C₁, C₂ — произвольные постоянные); взяв ξ и η за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду

.

Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент η произвольно, то уравнение (3) приведется к виду

.

Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде ξ ± iη = C, то уравнение (3) преобразуется к виду

.

Значения решения и вдоль Х. и значения и в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач (См. Краевые задачи) для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u, и , заданные на линии, не являющейся Х., определяют значения решения вблизи этой линии; для Х. же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Х.

Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u, и (квазилинейный случай), то Х., определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Х. и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.

Лит. см. при ст. Уравнения математической физики.

II

Характери́стика

в технике, взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными, определяющими состояние технического объекта (процесса, прибора, устройства, машины, системы), выраженная в виде текста, таблицы, математической формулы, графика и т.п. Например, зависимости тока от электрического напряжения на участке электрической цепи (см. Вольтамперная характеристика), расхода топлива автомобилем от пройденного им пути и состояния дороги, громкости и качества звучания громкоговорителя от частоты, времени перемагничивания ферритового сердечника от величины намагничивающего поля.

Х. по методике определения подразделяют на детерминированные (статические, динамические) и статистические; по виду аналитические зависимости — на линейные и нелинейные; по назначению — на эксплуатационные, настроечные и т.д. Статической Х. называется зависимость между выходной и входной величинами технической системы в установившихся состояниях. Динамические Х. (частотные, импульсные и др.) отражают реакции изучаемой системы на какие-либо типовые возмущающие воздействия: например, частотная Х. отражает зависимость амплитуды и фазы периодического сигнала на выходе системы от амплитуды и фазы входного гармонического сигнала при изменении только его частоты; импульсная Х. — зависимость изменения во времени сигнала на выходе системы от воздействия входного единичного импульса. В наиболее полной форме динамическая Х. содержатся в динамической математической модели объекта, например в виде дифференциальных уравнений. Статистические Х. (оценки) применяют к объектам, поведение которых во времени меняется случайным образом. К статистическим Х. относятся, например, дисперсия, автокорреляционная функция, спектральная плотность и т.п.

Линейными называются все Х., которые могут быть с заданной точностью аппроксимированы выражением вида у = ax + b, где у — выходное воздействие, x — входное воздействие изучаемой системы, а и b — постоянные коэффициенты. Все остальные Х. — нелинейные; среди них выделяют линеаризуемые Х., которые по частям с известной точностью аппроксимируются указанным выше выражением (см. Линеаризация).

А. В. Кочеров.