Чаплыгина неравенство
Чаплы́гина неравенство
Одно из важнейших дифференциальных неравенств. Если y’'(x) = f (x, y) и функции u (х) и v (x) удовлетворяют дифференциальным неравенствам u’'(х)—f (x, u) > 0 и v’'(x) — f (x, v) /i> 0 (<i>x<sub>0</sub></i> ≤ <i>x</i> ≤ <i>x<sub>1</sub></i>) и <i>u</i> (<i>х<sub>0</sub></i>) <i>= v</i> (<i>x<sub>0</sub></i>) <i>= y<sub>0</sub></i>, то решение <i>y</i> (<i>x</i>) дифференциального уравнения <i>у’'</i>(<i>х</i>) <i>= f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>), проходящее через точку (<i>x<sub>0</sub></i>, <i>y<sub>0</sub></i>), заключено между функциями <i>u</i> (<i>х</i>) и <i>v</i> (<i>x</i>), то есть <i>u</i> (<i>х</i>) <i у (х) > v (x), (x0 < х ≤ x1). Эта теорема (здесь изложен простейший случай) была доказана С. А. Чаплыгиным (1919) и положена им в основу метода приближённого интегрирования дифференциальных уравнений (см. Чаплыгина метод). Чаплыгин доказал аналогичную теорему для уравнения у (n)—f (x, у, y',..., y (n―1)) = 0 и распространил её на уравнения с частными производными.
