Чебышева неравенство

Чебыше́ва неравенство

1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей

и

оно имеет вид:

а в интегральной форме ― вид:

,

где f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 и обе функции либо убывают, либо возрастают. Ч. н. установлено П. Л. Чебышевым (1882).

2) Неравенство, дающее оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания превзойдёт некоторую заданную границу. Пусть ξ — какая-либо случайная величина, Eξ = a — её математическое ожидание, а Dξ = σ² ― её дисперсия. Тогда Ч. н. утверждает, что вероятность неравенства | ξ ― a |≥ k σ не превосходит величины 1/k². Если ξ — сумма независимых случайных величин, то при некоторых дополнительных ограничениях оценка 1/k² может быть заменена оценкой

убывающей с ростом k значительно быстрее.

Своё название Ч. н. получило по имени П. Л. Чебышева, который с его помощью установил (1867) весьма широкие условия приложимости закона больших чисел к суммам независимых случайных величин. См. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей.