Витали Вариация

Одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть функция задана на re-мерном параллелепипеде Введем обозначения Пусть П — произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями пна n-мерные параллелепипеды. Обозначим через точную верхнюю грань сумм вида взятую по всевозможным разбиениям П. Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию Витали на , а класс всех таких функций обозначается через или просто через V. Этот класс был определен Дж. Витали [1]. Позже это же определение вариации было предложено А. Лебегом [2] и М. Фреше [3]. Действительнозначная функция , заданная на , принадлежит классу тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде где функции и таковы, что для каждой из них суммы вида (*), взятые без знака модуля, неотрицательны [4] (аналог Жордана разложения функции ограниченной вариации одного переменного). С помощью функций класса вводится многомерный интеграл Стилтьеса. В частности, для любой непрерывной на функции g(x).и любой функции / (х) из класса существует интеграл Лит.:[1] Vitali G., "Atti Accad. sci. Torino", 1908, v. 43, p. 75-92; [2] Lebesgue A., "Ann. Ecol. Norm, super.", 1910, ser. 3, v. 27, p. 361-450; [3] Freсhet. M., "Nouv. anniv.", 1910, ser. 4, t. 10, p. 241-56; [4] Hahn H., Theorie der reellen Funktionen, Bd 1, В., 1921; [5] Рисc Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954. В. И. Голубое.