Гильберта Преобразование

Функции f- несобственный интеграл Если , то функция gсуществует почти для всех значений х. Если , , тогда функция gтакже принадлежит и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]: где константа . зависит только от р. Формулы (1), (2) эквивалентны формулам в к-рых интегралы понимаются в смысле главного значения. Г. п. функции f называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл Этот интеграл часто наз. Гильберта сингулярным интегралом. В теории рядов Фурье функцию определяемую формулой (6), наз. сопряженной с f. Если то gсуществует почти всюду, а если f удовлетворяет условию Липшица с показателем то gсуществует при любом x и удовлетворяет тому же условию. Если то обладает тем же свойством и имеет место неравенство, аналогичное (3), в к-ром интегралы взяты на интервале (0,2p). Таким образом, интегральные операторы, порождаемые Г. п., являются ограниченными (линейными) операторами в соответствующих пространствах Когда f удовлетворяет условию Липшица или и, кроме того, то имеет место двойственная формула причем В классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, равенство (7) справедливо всюду, а в классе функций, суммируемых с р-й степенью, — почти всюду. Каждую из выписанных выше двойственных формул [напр. (4), (5)] можно рассматривать как интегральное уравнение 1-го рода; тогда вторая формула даст решение этого уравнения. Когда функции и рассматриваются как ядра интегральных операторов, то их часто наз. Гильберта ядрам и Коши ядром. Между этими ядрами в случае единичной окружности существует простая связь: где Лит.: [1] Нillbеrt D., Grundzuge eincr allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.- В., 19)2 (2 Aufl., 1924); [2] RieszM., "Math. Z.", 1927, Bd 27, № 2, S. 218-44: [3] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.-Л., 1948; [4] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3изд., М., 1968; [5] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961. Б. В. Хведелидзе.