Когомологическая Размерность

1) К. p. (dimGX) топологического пространства Xотносительно группы коэффициентов G- максимальное целое число р, для к-рого в X найдутся замкнутые подмножества Атакне, что когомологий Н p( Х, A; G )отличны от нуля. Аналогично определяется гомологическая размерность hdimGX. Конечная лебегова размерность совпадает с dimG (с hdimG), если G- целые числа (приведенные по модулю 1 действительные числа). В евклидовом пространстве равенство dimGX=p равносильно тому, что Xлокально зацепляется (п-р-1)-мерными циклами (с коэффициентами в G). Для паракомпактных пространств Xнеравенство равносильно существованию мягких резольвент для Gдлины р. Поскольку мягкие пучки ацикличны, этим устанавливается связь с общим определением размерности в гомологич. алгебре, напр, инъективная (проективная) размерности модуля если он обладает инъективными (проективными) резольвентами длины р;глобальная размерность кольца есть максимум инъективных (проективных) размерностей модулей над кольцом и является аналогом лебеговой размерности X. Лит.:[1] Александров П. С, "Ann. Math.", 1929, v. 30, p. 101-87; [2] его же, "Math. Ann.", 1932, Bd 106, S. 161-238; [3] eго же, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; [4] Xарлап А. Э., "Матем. сб.", 1975, т. 96, № 3, с. 347-73; [5] Кузьминов В. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, № 5, с. 3-49; [6] Вrеdоn G. E., Sheat theory, N. Y., 1967; [7] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960. Е. Г. Скляренко.2) К. р. схемы — аналог понятия когомологической размерности топологич. пространства для алгебраич. многообразия или схемы с выбранной теорией когомологий на них. Пусть X- алгебраич. многообразие или нётерова схема размерности п. К. р. схемы Xназ. целое число cd(X), равное нижней грани в тех i, для к-рых для всех абелевых пучков на топологическом пространстве Xпри j>i. Справедливо неравенство Когерентнойкогомологической размерностью схемы Xназ. число cohcd (X), равное нижней грани тех г, для к-рых для всех когерентных алгебраич. пучков на Х при j>i. В силу определения По теореме Серра cohcd(X) = 0 тогда и только тогда, когда X — аффинная схема. С другой стороны, если X- алгебраич. многообразие над полем k, то cohcd(X)=n тогда и только тогда, когда Xсобственно над к(теорема Лихтенбаума) (см. [3]). Пусть X- собственная схема над полем k, Y- ее замкнутая подсхема коразмерности dи U=X-Y. Тогда имеют место следующие утверждения ([2] — [4]). Если У — теоретико-множественное полное пересечение обильных дивизоров на X, то если X- проективное многообразие Коэна — Маколея (напр., неособое проективное многообразие) и Y нульмерно, то cohcd (U)=n-1. Условие cohcd (U) п-2 равносильно тому, что У связно. Если Х = Р п- проективное пространство и У связно и размерности то Если X- алгебраич. комплексное многообразие, то можно рассматривать гомологич. размерность соответствующего топологич. пространства Х(С). В общем случае, когда X- нётерова схема, аналогом гомологич. размерности является понятие этальной когомологической размерности схемы X. Точнее, пусть Xet- этальная топология Гротендика схемы Xи l- простое число. Когомологической l- размерностью схемы X(или этальной К. р.) наз. число cdl(X), равное нижней грани тех i, для к-рых для всех Z-периодических абелевых пучков Fна Xet при j>i. Если X=Spec A — аффинная схема, то cdl(Spec A)наз. также К. р. кольца А. В частности, если А- поле, то понятие cdl(A) совпадает с понятием К. р. поля, к-рое изучается в теории Галуа когомологий. Если X- алгебраич. многообразие размерности пнад полем k и то В частности, если k- сепарабельно замкнутое поле, то Если X- аффинное алгебраич. многообразие над сепарабельно замкнутым полем к, то cdl(X) dim X. Пусть k- поле конечной характеристики р, тогда для любой нётеровой схемы Xнад полем кимеет место неравенство В частности, для любого нётерова коммутативного кольца А Если X- квазипроективное алгебраич. многообразие над сепарабельно замкнутым полем к, то cdp(X) dim X, где р — характеристика k. Лит.:[1] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Наrtshоrne R., "Ann. Math.", 1968, v. 88, p. 403-50; [3] eго же, Ample subvarieties of algebraic varieties, В., 1970; [4] eго же, "Compositio math.", 1971, t. 23, № 3, p. 257-64; [5] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, B.- Hdlb.- N. Y., t. 2, 1972; t. 3, 1973. И. В. Долгачев.