Линейная Алгебраическая Группа

Алгебраическая группа, бирационально изоморфная алгебраич. подгруппе полной линейной группы. Алгебраич. группа Gлинейна тогда и только тогда, когда алге-браич. многообразие Gаффинно, т. е. изоморфно замкнутому (в топологии Зариского) подмногообразию аффинного пространства. Теория Л. а. г. возникла из потребностей решения линейных дифференциальных уравнений в квадратурах (теория Галуа дифференциальных уравнений) в конце 19 в. (С. Ли, S. Lie; Э. Пикар, Е. Picard; Л. May-pep, L. Маигег), и первоначальное изучение Л. а. г. над полем комплексных чисел проводилось по аналогии с теорией групп Ли методом алгебр Ли. Л. а. г. G над полем комплексных чисел С может рассматриваться как аналитич. одгруппа группы Обычным образом определяемая алгебра Ли группы G будет тогда подалгеброй в алгебре Ли группы (т. е. в полной линейной алгебре Ли всех -матриц с комплексными коэффициентами). На возникающий здесь вопрос — какие подалгебры Ли полной линейной алгебры соответствуют алгебраическим (а не только аналитическим) подгруппам группы — может быть дан исчерпывающий ответ (см. Ли алгебраическая алгебра1)). Методы теории групп и алгебр Ли в середине 20 в. были существенно усовершенствованы и обобщены К. Шевалле (С. Chevalley), что позволило ему применить их к изучению Л. а. г. над произвольными полями нулевой характеристики (см. [61). Для полей ненулевой характеристики метод алгебр Ли является менее эффективным, так что естественно возникла необходимость глобального исследования Л. а. г. с помощью методов алгебраич. геометрии. Основы глобального исследования Л. а. г. были заложены А. Борелем (см. [2]), после чего теория Л. а. г. приобрела вид стройной дисциплины (см. [8]). Одной из основных проблем теории Л. а. г. является проблема классификации Л. а. г. с точностью до изоморфизма. Эта проблема в основном сводится к ее решению для двух типов Л. а. г.: полупростых и разрешимых. Произвольная Л. а. т. обладает такой максимальной связной разрешимой нормальной подгруппой Н, что факторгруппа G/H является полупростой Л. а. г. Фундаментальным результатом является классификация Шевалле полупростых Л. а. г. над алгебраически замкнутыми полями любой характеристики (см. [7]). Эта классификация аналогична классификации Картана — Киллинга комплексных полупростых групп Ли. Классификация Шевалле основывается на том, что в полупростой алгебраич. группе строятся аналоги элементов теории Картана — Кпллинга — картановская подгруппа, корни и т. д.. Важную роль при этом играют подгруппы Бореля и максимальные алгебраич. торы. Пусть G — полупростая Л. а. г. Т — ее максимальный тор, — нормализатор Тв G, — Вейля группа группы G. Тор Тсодержится лишь в конечном числе подгрупп Бореля группы G, к-рые транзитивно переставляются при сопряжении элементами из При помощи подгрупп Бореля, содержащих Т, строятся нек-рые мономорфизмы а-ддитивной группы поля в подгруппы Бореля (содержащие Т), играющие роль корней. С помощью техники Брюа разложений доказывается, что указанная система структурных элементов допускает полную классификацию и определяет группу G с точностью до изоморфизма (см. [7]). Окончательная классификация полупростых групп не зависит от характеристики основного поля и поэтому совпадает с классификацией комплексных полупростых алгебраич. групп. Классификация с точностью до k-изоморфизма полупростых Л. а. г., определенных над алгебраически незамкнутым полем k, значительно сложнее; она существенно зависит от поля kи сводится к классификации k-форм алгебраич. групп (см. Форма алгебраической группы). Множество k-форм алгебраич. группы G, определенной над алгебраич. замыканием Кполя k, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством одномерных Галуа когомологий где Aut(G) — группа автоморфизмов G. В тех случаях, когда известна группа Галуа Gal(Klk).расширения Klk (напр., если k — поле действительных чисел или конечное поле), это дает значительную информацию о формах группы G. Но главная трудность в исследовании этой глубокой и пока (1982) еще далекой от своего решения проблемы ложится на изучение k-структуры полупростых Л. а. г. В случае произвольного поля kмаксимальные k-разложимые торы играют роль, аналогичную роли максимальных алгебраич. торов в группе G над алгебраически замкнутым полем, k-разложимый тор — это тор, k-изоморфный прямому произведению k-определенных одномерных групп GL(1). Максимальные k-разложимые торы в G сопряжены посредством элементов из Gk и их размерность наз. k-p а н г о м G(что обозначается rangkG). Если rangkG>0, то G наз. k-и з о т р о п н о й, в противном случае — k-aн и з о т р о п н о й. k-изотропность для полупростой группы Gэквивалентна тому, что группа Gk имеет неединичные унипотентные элементы. Для простой односвязной группы G существовала Кнезера — Титса гипотеза, что при rangkG>0 группа Gk порождается унипотентными элементами (см. [13]), в общем случае решенная отрицательно (см. [16]). Роль подгруппы Бореля в случае произвольного поля kиграет минимальная параболич. k-подгруппа, т. е. минимальная k-определенная подгруппа G, содержащая подгруппу Бореля. Естественно определяется корневая система относительно максимального k-разложимого тора в G и относительная группа Вейля (см. [3]). Бели группа G обладает k-разложимым максимальным тором, то эти структурные элементы не зависят от поля kи определяют такие группы с точностью до k-изоморфизма. Группы, обладающие k-разложимыми максимальными торами, наз. k-p азложимыми, или Шевалле группами. Именно К. Шевалле классифицировал k-разложимые алгебраич. группы и доказал, что всякая полупростая группа обладает единственной (с точностью до k-изоморфизма) k-формой такого типа (см. [7], [14]). В общем случае А. Борелем и Ж. Титсом [3] доказано существование аналога разложения Брюа для группы Gk, в к-ром роль подгрупп Бореля играют минимальные параболич. k-подгруппы, сопряженные посредством элементов из Gk. Это позволяет в существенной мере редуцировать классификацию полупростых Л. а. г. положительного k-ранга к классификации полупростых групп k-ранга нуль, т. е. к классификации k-анизотропных групп. А именно, полупростая группа G определяется с точностью до k-изоморфизма своим классом изоморфизма над универсальным полем, своим k-индексом и полупростым k-анизотропным ядром (см. Анизотропное ядро).(см. [9]). В некоторых случаях удалось получить классификацию k-анизотропных полупростых групп. Так, напр., над конечным полем анизотропных полупростых групп не существует, а для широкого класса локальных полей kдоказано (см. [15]), что всякая k-анизотропная простая Л. а. г. G является внутренней формой типа А n, т. е. Gk, в односвязном случае изоморфна SL(1, D), где D — тело конечной степени над k. В основе этих результатов лежит понятие Титса системы, представляющее глубокое аксиоматич. обобщение разложений Брюа в клас-сич. случае. Из других общих результатов следует отметить унирациональность многообразия редуктивной k- определенной Л. а. г., а также теорему Гротендика о существовании во всякой k-определенной Л. а. г. k- определенного максимального тора (см. [1], [10], [12]). Если группа G определена над полем алгебраич. чисел или над полем алгебраич. функций одной переменной, то возникают проблемы об арифметич. свойствах G, изучением к-рых занимается линейных алгебраических групп арифметическая теория (см. [12]). Идеи и техника Л. а. г. были применены к изучению произвольных линейных групп, что привело к созданию одного из основных методов в теории линейных групп (см. [11]) Лит.:[1]Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] В о r е 1 A., "Ann. Math.", 1956, v. 64, № 1, p. 20-82; [3] Б о р е л ь А., Титс Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; № 2, с. 3-31; [4] Серр Ж.-П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [5] его же, Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1968; [6] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ. и франц., т. 1-3, М., 1948-58; [7] С h е v а 1 l е у С., Classification des grroupes de Lie algebriques, t. 1-2, P., 1956-58; [8] Шевалле К., Теория алгебраических групп, в кн.: Международный математический конгресс в Эдинбурге, 1958 г., М., 1962, с. 74- 92; [9] Тите Ж., "Математика", 1968, т. 12, № 2, с. 110-43; [10] Demazure М., Grothendieck A., Schemas;en groupes, t. 1-3, В.- [u. a.], 1970; [11] Платонов В. П.. "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1966, т. 30, № 3, с. 573-620; [12] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 5 — 36; [13] Ti ts J.. "Ann. Math.", 1964, v. 80, p. 313-29; [14] Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; [15] Брюа Ф., Титс Ж., "Математика", 1968, т. 12, № 5, с. 3 — 18; [16] Платонов В. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1976, т. 40, № 2, с. 227-61; [17] Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. В. П. Платонов.