Ли Локальная Группа

Аналитическая локальная группа,- аналитическое многообразие Gнад полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, снабженное отмеченным элементом е(единицей), открытым подмножеством и парой аналитич. отображений многообразия окрестности Uв себя, для которых: 1) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество ge=eg; 2) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество 3,) для некоторой окрестности точки евыполняется включение причем g(hr)=(gh)r, где g, h, r — любые элементы из V. Ли л. г. впервые появились в трудах С. Ли (S. Lie) и его школы (см. [1]) как локальные Ли, группы преобразований. Пусть G1 и G2- две Ли л. г. с единицами е 1 н е 2 соответственно. Локальным гомоморфизмом G1 в G2 (обозначается ) наз. аналитич. отображение нек-рой окрестности в G1, для к-рого f(e1)=e2 и f(gh)=f(g)f(h).для g, h из нек-рой окрестности точки е 1. Определяемая естественным образом композиция локальных гомоморфизмов также есть локальный гомоморфизм. Локальные гомоморфизмы совпадающие в нек-рой окрестности точки е 1 наз. эквивалентными. Если существуют такие локальные гомоморфизмы и что композиции эквивалентны тождественным отображениям, то Ли л. г. G1 и G2 наз. эквивалентными. Пример. Пусть — аналитич. руппа с единицей е к G — открытая окрестность точки ев Тогда аналитич. структура на индуцирует аналитич. структуру на G, причем операции умножения и взятия обратного элемента в превращают G в Ли л. г. (в частности, сама может рассматриваться как Ли л. г.). Все Ли л. г. G, получаемые таким способом из фиксированной аналитич. руппы эквивалентны между собой. Один из принципиальных вопросов теории групп Ли состоит в том, насколько общий характер имеет приведенный выше пример, т. е. будет ли всякая Ли л. г. (с точностью до эквивалентности) окрестностью нек-рой аналитич. руппы. Ответ на этот вопрос положителен (см. [2], [3], [4]), в случае банаховых Ли л. г. ответ отрицателен (см. [4J). Важнейшим средством изучения Ли л. Относительно этого умножения kn является алгеброй Ли. Указанная структура алгебры Ли переносится в касательное пространство к многообразию G в точке ес помощью определенного картой с изоморфизма Формальные группы Fc и Fc', определенные разными картами, изоморфны, а указанная структура алгебры Ли на не зависит от выбора карты с. Алгебра Ли наз. алгеброй Ли локальной группы Л и. Для любого локального гомоморфизма Ли л. г. его дифференциал в единице является гомоморфизмом алгебр Ли, откуда следует, что сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли является функториальным. В частности, эквивалентные Ли л. г. имеют изоморфные алгебры Ли. Если поле kимеет характеристику 0, указанная выше конструкция, восходящая к С. Ли [1], позволяет свести изучение свойств Ли л. г. к изучению соответствующих свойств их алгебр Ли. В этом случае алгебра Ли g определяет Ли л. г. G однозначно с точностью до эквивалентности. А именно, карта сможет быть выбрана так, что произведение ху в Ли л. г. Uвыражается в виде нек-рого сходящегося ряда (т. н. ряда Кэмпбелла — Хаусдорфа) от элементов пространства kn, полученных из х к у с помощью операции коммутирования [ , ] и умножения на элементы из k(см. Кэмпбелла — Хаусдорфа формула). Обратно, для произвольной конечномерной алгебры Ли над kряд Кэмпбелла — Хаусдорфа сходится в нек-рой окрестности нуля в и определяет в этой окрестности структуру Ли л. г. с алгеброй Ли Таким образом, для любой заданной алгебры Ли существует единственная с точностью до эквивалентности Ли л. г., алгеброй Ли к-рой является Более того, всякий гомоморфизм алгебр Ли индуцирован нек-рым единственным гомоморфизмом соответствующих Ли л. г. Иначе говоря, сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли определяет эквивалентность категории Ли л. г. и категории конечномерных алгебр Ли над k. Кроме того, сопоставление Ли л. г. соответствующей формальной группы определяет эквивалентность категории Ли л. г. и категории формальных групп над k. Алгебра Ли может быть определена и для любой банаховой Ли л. г.; основной результат об эквивалентности категорий Ли л. г. и алгебр Ли обобщается на этот случай (см. [2]). Лит.:[1] L i e S., E n g е 1 P., Theorie der Transformationsgruppen, Bd 1-3, Lpz., 1888-93; [2] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [3] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [4] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [5] Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М.- Л., 1940. В.