Полиномиальная Функция

Обобщение понятия целой рациональной функции (см. Многочлен). Пусть V- унитарный модуль над ассоциативно-коммутативным кольцом С с единицей. Отображение j: наз. П. ф., если j=j0+...+jm, где ji — форма степени iна V, i=0,1,...,т(см. Полилинейная форма). Наиболее часто П. ф. рассматриваются в случае, когда V — свободный С-модуль (напр., векторное пространство над нолем С).с конечным базисом v1,...,vn. В этом случае отображение является П. ф. тогда и только тогда, когда j(x)=F(x1,...,х п), где — многочлен над Си х 1, . . ., х п — координаты элемента в базисе v1,...,vn. Если при этом С — бесконечная область целостности, то многочлен Fопределяется однозначно. П. ф. на модуле Vобразуют ассоциативно-коммутативную С-алгебру Р(V).с единицей относительно естественных операций. В случае, когда V — свободный модуль с конечным базисом над бесконечной областью целостности С, алгебра Р(V).канонически изоморфна симметрич. алгебре S(V*).сопряженного модуля V*, а если V — конечномерное векторное пространство над полем характеристики 0,- алгебре симметрических полилинейных форм на V. А. Л. Онищик.