Совершенное Отображение

Непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к-ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой действия имеют класс всех топологич. пространств. В классе вполне регулярных пространств С. о. характеризуются существованием у них непрерывного продолжения на нек-рые бикомпактные расширения, при к-ром наросты расширений отображаются в наросты. С. о. сохраняет метризуемость, паракомпактность, вес, полноту по Чеху в сторону образа; другие инварианты (напр., характер пространства) оно преобразует правильным образом. Класс С. о. замкнут относительно операций произведения и композиции. Сужение С. о. на замкнутое подпространство является С. о. (не так обстоит дело для факторных и открытых отображений). Названные свойства С. о. привели к тому, что класс этих отображений стал играть стержневую роль в классификации топологич. пространств. Прообразы метрич. пространств при С. о. охарактеризованы как паракомпактные перистые (р)-пространства. Класс паракомпактных р-пространств замкнут уже в обе стороны относительно С. о. Важным свойством С. о. является возможность сузить каждое из них на нек-рое замкнутое подпространство, не уменьшая образа, так, чтобы получившееся отображение было неприводимым — не допускало дальнейшего сужения на замкнутое подпространство без уменьшения образа. Неприводимые С. о. являются отправной точкой построения теории абсолютов топологич. пространств. При неприводимом С. о. -вес образа всегда равен -весу отображаемого пространства и число Суслина образа равно числу Суслина отображаемого пространства. Если вполне регулярное Т 1 -пространство X отображается на вполне регулярное Т 1 -пространство Y посредством С. о., то Xгомеоморфно замкнутому подпространству топологич. произведения пространства У на нек-рый бикомпакт. Диагональное произведение С. о. и непрерывного отображения всегда является С. о., в частности диагональное произведение С. о. и уплотнения является гомеоморфизмом, и если топологическое пространство совершенно отображается и уплотняется на нек-рое (вообще говоря, другое) метрическое пространство, то оно само метризуемо. Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] Бурбаки Н., Общая топология.