Суслина Гипотеза

Гипотеза, утверждающая, что всякое линейно упорядоченное множество без первого и последнего элементов, являющееся полным, плотным и удовлетворяющее условию Суслина, изоморфно действительной прямой. При этом полнота означает существование точной верхней грани у всякого непустого ограниченного подмножества, плотность — непустоту любого интервала ( а, b), условие Суслина состоит в том, что всякая непересекающаяся система интервалов не более чем счетна. Действительная прямая обладает всеми свойствами, фигурирующими в формулировке С. г. Таким образом, С. г. состоит в том, что отмеченные свойства действительной прямой полностью ее определяют. Эта гипотеза сформулирована М. Суслиным в 1920 [1]. В рамках системы ZFC (системы ZF с аксиомой выбора) С. г. нельзя ни доказать, ни опровергнуть при условии, что ZF непротиворечива. При этом из аксиомы конструктивности Гёделя (см. Конструктивное по Гёделю множество )вытекает отрицание С. г. Совместимость С. г. с аксиомами ZFC доказывается построением соответствующей модели с помощью разновидности вынуждения метода (итерированное вынужденнe). Добавление к ZFC континуум-гипотезы также не позволяет дать ни положит., ни отрицат. решения С. г. С. г. и ее обобщения оказали большое влияние на развитие аксиоматич. теории множеств. С ней связана разработка ряда идей и методов. Это — комбинаторные принципы Иенсена к (см. [4]) и теория тонкой структуры конструктивной иерархии (см. [5]), аксиома Мартина [7] и метод итерированного вынуждения [2]. Принцип Иенсена Подмножество кардинала наз. замкнутым неограниченным, если оно содержит все свои предельные точки и для всякого существует такое, что Множество наз. стадионарным, если его пересечение с каждым замкнутым неограниченным подмножеством кардинала kнепусто. Принцип существует последовательность такая, что для всякого множество стационарно. Для всякого регулярного kпринцип вытекает из аксиомы конструктивности, а из следует отрицание С. г. Комбинаторные принципы Иенсена, а также аксиома Мартина (см. ниже) нашли плодотворные применения в топологии (см. [4], [6], [8]). Пусть Р- частично упорядоченное множество. Множество наз. плотным, если для всякого существует такое, что Множество наз. совместимым, если для любого конечного подмножества найдется такое что для всякого Два элемента p1 и р 2 из . наз. несовместимыми, если множество не является совместимым. Говорят, что частично упорядоченное множество Рудовлетворяет условию счетности антицепей, если всякое множество, состоящее из попарно несовместимых элементов, не более чем счетно. Аксиома Мартина (МА) утверждает следующее: если частично упорядоченное " множество удовлетворяет условию счетности антицепей ' и — семейство мощности плотных подмножеств, то существует совместимое множество такое, что для всякого пересечение непусто. При наличии континуум-гипотезы (СН) аксиома Мартина доказуема. Наиболее интересные следствия дает сочетание аксиомы Мартина (МА) с отрицанием континуум-гипотезы Принцип противоречит сочетанию так как влечет СН. При этом часто оказывается, что предложение, выводимое из будет опровержимо в предположении Так, напр., обстоит дело с С. г. Именно, влечет С. г., в то время как влечет отрицание С. г. Сочетание совместимо с ZFC, если ZF непротиворечива. Лит.:[1] Suslin М., лFundam. math.