ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ – раздел современной математической логики, изучающий свойства и преобразования формальных доказательств, т.е. формальных объектов, синтаксическая правильность которых гарантирует семантическую. Это определение унифицирует множество разнородных понятий формального доказательства, существующих в математической логике: последовательности формул, графы, диаграммы и т.д. В некоторых областях современного общества понятие доказательства стало практически тоже формальным. В частности, понятие документа в юриспруденции включает в себя прежде всего правильность его формы, которая делает его содержание истинным по определению. Однако формальное определение доказательства может в некоторых случаях быть содержательно неадекватным. Часто составленный по всей форме документ прикрывает результат абсолютно незаконных действий либо обмана.

Доказательств теория первоначально появилась в связи с программой Гильберта (см. Формализм [ФОРМАЛИЗМ]), с задачей обоснования того, что каждый формальный вывод содержательно интерпретируемого (реального) утверждения дает содержательно правильный результат, включающий в случае необходимости и соответствующее построение.

Одним из шагов по направлению к данной цели казалось доказательство непротиворечивости формальных теорий. Это средство незаметно подменило собой цель, и поэтому первым громко прозвучавшим результатом теории доказательств была теорема Гёделя [ГЕДЕЛЬ] о неполноте и ее следствие – о недоказуемости непротиворечивости.

Важным позитивным результатом является теорема П.С.Новикова [НОВИКОВ П.С.]: утверждение о существовании результата алгоритмического построения, доказанное в классической арифметике, дает верное следствие, и в том числе (грубую) оценку числа необходимых шагов построения. Эта теорема стала основой целого класса результатов современной теории доказательств, обосновывающих совпадение классической истинности и конструктивной обоснованности для многих видов утверждений (в последнее время такие результаты все чаще доказываются методами моделей теории [МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ]). Следующим шагом в развитии теории доказательств, надолго предопределившим ее магистральное направление, стала формулировка Г.Генценом [ГЕНЦЕН] исчисления секвенций и естественного вывода и доказательство им теоремы нормализации для классического и интуиционистского исчисления секвенций [ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ]. Содержательно теорема нормализации означает возможность перестроить любой формальный вывод в нормализованный вывод без лемм. Было ясно, что понятие нормализованного вывода применимо и к естественному выводу, но точную формулировку дал только Д.Правиц (1965). Хотя формально определение Правица является сложным, содержательный смысл его вполне прозрачен. Логических правил для каждой связки обычно два: правило ее введения, показывающее, как доказывать утверждения данного вида, и правило удаления, показывающее, как их применять. Напр., для импликации в классической и во многих других логиках правила имеют вид:

Допустим А

…

;   

Во втором из данных правил формула А⇒В используется именно как импликация, формула же А не анализируется и может быть любой. Для того чтобы подчеркнуть данный факт, А⇒Вназывается главной посылкой правила удаления импликации.

В выводе есть окольный путь, если результат правила введения используется как главная посылка в соответствующем правиле удаления, а такая пара правил называется вершиной окольного пути. Если в выводе нет вершин окольных путей, то он называется прямым либо нормализованным.

Теорема нормализации гласит, что любой вывод можно перестроить в нормализованный. Длительное время разные формы нормализации являлись ведущей темой исследований в теории доказательств. Расширялся класс исчислений и теорий, для которых устанавливалась нормализуемость выводов. Сейчас она обоснована для теории типов и для множества неклассических логик [НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ].

Устанавливались и оценки соотношения длины нормализованного и исходного выводов. Здесь была подтверждена правота Гильберта [ГИЛЬБЕРТ] о необходимости идеальных объектов для реальных результатов. В частности, В.А.Оревков построил пример последовательности формул, таких, что доказательство n-й формулы с окольными путями происходит приблизительно за 13n шагов, а нормализованный вывод либо вывод методом резолюций должен делать не менее 2² (n раз) шагов. В косвенном доказательстве (п + 1)-й формулы используется промежуточный результат, содержащий в два раза больше связок, чем в доказательстве n-й. В исчислении высказываний оценка увеличения длины вывода чуть «оптимистичней» – она экспоненциальна. В свою очередь изучение свойств самих преобразований, используемых при нормализации выводов, в частности показало, что предложенная Правицем система операций устранения вершин окольных путей обладает свойством полной недетерминированности: независимо от порядка применения операций за конечное число шагов получается нормализованный вывод. Но сам результирующий вывод существенно зависит от порядка применения шагов.

В последнее время на стыках между теорией доказательств и информатикой появились новые классы результатов. Во-первых, выяснилось, что структуры доказательств и структуры извлекаемых из них построений, записанных на алгоритмическом языке достаточно высокого уровня (допускающем работу с значениями высших типов; так что Pascal и С этим требованиям не удовлетворяют), тесно связаны. Построение мономорфно вкладывается в доказательство, а часть доказательства, получающаяся отбрасыванием шагов и формул, нужных лишь для обоснования результата, изоморфна программе.

Далее, были рассмотрены соотношения между преобразованиями доказательств и скрытых в них программ. Оказалось, что нормализация соответствует вычислению программы в символьной форме (т.е. когда проделываются все вычисления и преобразования выражений, которые не зависят от входных данных). Оптимизирующие преобразования программ в свою очередь подсказали новые классы преобразований доказательств, ориентированные на устранение избыточностей.

Литература:

1. Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957;

2. Такеути Г. Теория доказательств. М., 1978.

Н.Н.Непейвода, В.А.Смирнов