ИНТЕНСИОНАЛЬНЫЕ КОНТЕКСТЫ

ИНТЕНСИОНАЛЬНЫЕ КОНТЕКСТЫ – контексты, которые отличаются (от стандартных экстенсиональных) наличием особых предикатных знаков и операторов, напр., типа «верит, что...», «знает, что...», «ищет...», «необходимо, что...». В этих контекстах не проходит замена кодесигнативных выражений (см. Антиномии отношения именования [АНТИНОМИИ ОТНОШЕНИЯ ИМЕНОВАНИЯ]). Анализ интенсиональных контекстов (и языков) проводится на базе семантических категорий теории [СЕМАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ]. Для чего понятие индекса категории расширяется, а именно:

1. n и s суть индексы категорий (n – категория имен, s – категория предложений).

2. Если α и β индексы категорий, то α/β и α//β суть индексы категорий.

Выражения типа α/β получают название экстенсиональных, а типа α//β – интенсиональных. Т.о. имеются экстенсиональные одноместные предикатные знаки (типа s/n, для них мы примем курсивные заглавные латинские буквы Р, Q и т.д.) и интенсиональные (типа s//n, для них примем полужирные латинские заглавные буквы Р, Q и т.д.), аналогично имеются два типа одноместных пропозициональных операторов, напр., ⌉ есть оператор типа s/s,a ⎕ – типа s//s. В общем случае предикатный знак или оператор может быть интенсионален относительно одних и экстенсионален относительно других аргументов. Однако одного признания двух типов знаков недостаточно, чтобы построить язык с интенсиональными терминами, удовлетворяющий требованиям теории семантических категорий. Принципиальное отличие интенсиональных контекстов, во-первых, в приписывании особых значений интенсиональным предикатным символам, операторам и, во-вторых, в особом способе их связи с аргументами, что особенно важно. Способ сочленения стандартного экстенсионального предикатного (или операторного) одноместного знака с аргументом можно представить с помощью круглых скобок – Р(х);интенсионального – с помощью квадратных скобок – Q[x].

Если К – непустое множество возможных миров, a U – универсум рассмотрения, то каждой предикатной константе можно сопоставить объект (функцию) по следующим правилам:

1. Если Ρ есть предикатное выражение категории s/n, то І(Р) есть объект типа (2^U)^K.

2. Если R есть предикатное выражение категории ((s/n)/.../n), то I(R) есть объект категории (2^(U×…×U))^k.

3. Если Q есть выражение категории s//n, то I(Q) есть объект категории (2^(U[s]^{img_1252_001.pcx}[/s]⁾)^k.

4. Если S есть выражение категории ((s//n)//...//n), то I(S) есть объект категории (2^(U[s]^{img_1252_001.pcx}[/s]^{×…× U}[s]^{img_1252_001.pcx}[/s]⁾)^k, где символ «×» есть прямое (декартово) произведение.

В случае интенсионального предиката Р[а] способ вычисления интенсионала (экстенсионала) сложного выражения по экстенсионалам и интенсионалам составляющих иной, чем в случае экстенсионального предиката Р(а). При этом существенно, что экстенсионал любого сложного экстенсионального выражения является функцией экстенсионалов составляющих, а экстенсионал сложного интенсионального выражения является функцией экстенсионалов функтора и интенсионалов аргументных выражений. В этом принципиальное отличие интенсиональных контекстов от экстенсиональных. Сказанное позволяет увидеть причину трудностей, связанных с принципом замены равного равным. Этот принцип обычно формулируется или в виде х = у⊃Ах ≡ Ау (I) или в виде ∀х∀у (x = у ⊃ Ах ≡ Ау)(II), где Ах есть формула с выделенным свободным вхождением х в А, Ау есть результат замены выделенного вхождения x на у. Его распространение на интенсиональные контексты приводит к ряду недоразумений. К примеру, рассуждение с посылкой

«Холм, под которым погребена Троя, носит название Гисарлык», можно записать так:

1. Холм, под которым погребена Троя, – Гисарлык.

Известно, что суждение

2. «Шлиманн искал холм, под которым погребена Троя» – верно. Согласно принципу замены равного равным (I) имеем:

3. Если холм, под которым погребена Троя, тождествен Ги-сарлыку, то Шлиманн искал холм, под которым погребена Троя, тогда и только тогда, когда Шлиманн искал холм Гисарлык.

Из этих трех утверждений выводим:

4. Шлиманн искал холм Гисарлык.

Посылки 4–2 истинны, но заключение ложно.

Ситуация проясняется, если учесть различие между интенсиональными и экстенсиональными вхождениями индивидных терминов. Так, в утверждении «Шлиманн искал холм, под которым погребена Троя» термин «Шлиманн» входит экстенсионально, а термин «холм, под которым погребена Троя» – интенсионально.

В сформулированных выше обозначениях это утверждение имеет вид: (R(a))[b], где R – сокращение для «искал», а – для «Шлиманн», b – для «холм, под которым погребена Троя». Пусть с есть сокращение для «Гисарлык». Тогда принцип замены равного равным, используемый в приведенном выше рассуждении, имеет вид: b = с ⊃ (R(a))[b] ≡(R(a))[c].

Но этот принцип не проходит в интенсиональных контекстах в силу способа установления экстенсионалов в контекстах с интенсиональными вхождениями термов а или b. Пусть А(b) обозначает фиксированную формулу А с экстенсиональным вхождением индивидного терма b (в случае переменной – со свободным экстенсиональным вхождением), а A(c) – результат замены вхождения b на с. Аналогично А[b]будет обозначать формулу с фиксированным интенсиональным вхождением, a Ab – свыделенным интенсиональным или экстенсиональным вхождением.

Тогда принцип замены равного равным вида b = с ⊃ A(b) ≡А(с) будет общезначим в системе интенсиональной логики, а принцип b = c⊃A[b] =A[c]не общезначим.

Аналогичным образом могут быть проанализированы ситуации, когда осуществляется замена равного равным в контекстах, которые входят в область действия модальных операторов, (см. Интенсионал [ИНТЕНСИОНАЛ]).

Е.Д.Смирнова