ГАУССА ПРИНЦИП

(принцип наименьшего принуждения), один из вариационных принципов механики, согласно к-рому для механич. системы с идеальными связями (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ) из всех кинематически возможных, т. е. допускаемых связями, движений, начинающихся из данного положения и с данными нач. скоростями, истинным будет то движение, для к-рого «принуждение» Z явл. в каждый момент времени наименьшим. Установлен нем. учёным К. Ф. Гауссом (1829). Физ. величина, наз. «принуждением», вводится след. образом. Свободная матер. точка с массой m при действии на неё заданной силы F будет иметь ускорение F/m; если же на точку наложены связи, то её ускорение при действии той же силы станет равным какой-то др. величине w. Тогда отклонение точки от свободного движения, вызванное действием связи, будет зависеть от разности этих ускорений, т. е. от F/m-w. Величину Z, пропорц. квадрату этой разности, и наз. «принуждением». Для одной точки

Z=1/2m(F/m-w)2.

а для механич. системы Z равняется сумме таких величин.

Рассмотрим, напр., точку, к-рая начинает двигаться вдоль гладкой наклонной плоскости из положения А без нач. скорости (рис.). .

Для неё кинематически возможно любое перемещение АВ, АВ1, АВ2,... в этой плоскости с какими-то ускорениями w, w1, w2,...; при свободном же падении точка совершила бы перемещение вдоль вертикали АС с ускорением g. Тогда отклонения точки от свободного движения изобразятся отрезками СВ, СВ1, СВ2, . . ., наименьшим из к-рых будет отрезок СВ, перпендикулярный к наклонной плоскости. Следовательно, «принуждение» Z, пропорц. квадратам СВ, СВ1, СВ2, . . . , будет наименьшим при движении вдоль линии наименьшего ската AD. Это и будет истинное движение точки, происходящее с ускорением w=gsina. Математически Г. п. выражается равенством dZ=0, в к-ром варьируются только ускорения точек системы; при этом предполагается, что силы от ускорения не зависят.

Г. п. пользуются для составления ур-ний движения механич. систем и изучения св-в этих движений.