МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

(статистический оператор), оператор, при помощи к-рого можно вычислить ср. значение любой физ. величины в квант. статистич. механике и, в частном случае, в квант. механике. Термин «М. п.» связан с тем, что статистич. оператор задаётся обычно в виде матрицы rmn, строки и столбцы к-рой нумеруются индексами mn, отвечающими полному набору квант. чисел, описывающих состояние системы, а её диагональные элементы rmn определяют вероятности соответствующих состояний.

М. п. в квант. статистич. механике играет такую же роль, как ф-ция распределения в классич. статистич. механике.

В квант. механике состояние системы описывается волн. ф-цией y(x), соответствующей максимально полному набору данных о системе; такое состояние наз. ч и с т ы м с о с т о я н и е м. Ср. значение любой физ. величины ?, представляемой оператором ? , в состоянии, описываемом волн. ф-цией y(х), равно:

?=?y*(x)?(x)dx,

где интегрирование проводится по координатам всех ч-ц (для ч-ц со спином проводится, кроме того, суммирование по возможным значениям спина; y* — величина, комплексно сопряжённая y).

Вся квант. механика, за исключением нек-рых вопросов теории измерений, имеет дело с чистыми состояниями. В квант. статистич. механике состояние системы нельзя описать волн. ф-цией из-за отсутствия полной (максимально возможной) информации о квант.-механич. системе. Состояние, не основанное на полном (в смысле квант. механики) наборе данных о системе, в отличие от чистого наз. смешанным состоянием, или смесью состояний; такое состояние описывается М. п. rmn. Ср. значение любой физ. величины A , к-рой соответствует оператор ?, а в представлении квант. чисел m и n соответствует матрица Аnm, равно:

?=Sm,n rmnАnm.

Это усреднение включает как усреднение, связанное с вероятностным хар-ром квант. описания, так и статистич. усреднение, обусловленное неполнотой сведений о рассматриваемой системе, но эти операции не могут быть отделены друг от друга.

В частном случае М. п. может зависеть от координат ч-ц: r(х, х'), где х означает совокупность координат ч-ц x1, x2, ..., xN, а х' —совокупность x'1, х'2, ..., x'N (N — число ч-ц в системе), т. е. координаты ч-ц играют роль матричных индексов М. п. В координатном представлении М. п. связана с rmn соотношением

r(х, х') =Sm,n y*n(x')ym(x).

В этом представлении диагональные элементы М. п. r(х, х) определяют плотность вероятности в состоянии х. Для ч-ц со спином надо учитывать, кроме xi, также спиновые переменные. В Бозе — Эйнштейна статистике М.п. симметрична относительно перестановок х1, х2,..., xN (или штрихованных переменных). Для ч-ц со спином вместе с координатами следует переставлять и спины.

В Ферми — Дирака статистике М.п. антисимметрична.

В теории физ. измерений применение М. п. связано с тем, что квант. система, находящаяся до измерения в чистом состоянии, после измерения (в результате вз-ствия с измерит. прибором) будет находиться уже в смешанном состоянии.

М. п. удовлетворяет квант. ур-нию Лиувилля (или уравнению Неймана), к-рое определяет закон эволюции М. п. во времени и служит основой для неравновесной статистич. механики. Это ур-ние позволяет вычислить реакцию статистич. системы, находящейся в статистич. равновесии, на внешние возмущения (напр., на включение электрич. или магн. поля), а также построить статистич. операторы для систем, находящихся в неравновесном состоянии, когда имеются потоки частиц, энергии или импульса.