АЮКАЙ

Образовано путем присоединения к слову аю (медведь) уменьшительно-ласкательного аффикса

кай. Сохранилось в фамилиях Аюкаев, Аюков. Разновидность: Аюка.

Источник: Татарские мужские имена. Словарь значений на Gufo.me