интуиционизм

ИНТУИЦИОНИЗМ — одно из трех главных направлений (наряду с логицизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики. Для общей характеризации направлений, выросших из И., часто пользуются термином «конструктивизм». Поэтому стоит различать И. в узком смысле, российский конструктивизм, и различные частично конструктивные направления, часто также называемые современным И. И. возник в Голландии в 1907—1908.

Основное отличие И. от других направлений в том, что изменяется цель математики: она состоит не в доказательстве «истинных» теорем, а в том, чтобы дать математические («умственные», в терминологии первоначального И.) конструкции, органично соединяющие в себе построение и его обоснование.

Предшественниками И. считаются немецкий математик 19 в. Л. Кронекер и французские математики А. Пуанкаре и Э. Борель. Они с разных позиций замечали признаки неблагополучия в математике, связанные с тем, что в классической математике доказательства многих теорем существования не дают построений искомых объектов, и пытались несколько ограничить математические конструкции для устранения этого недостатка.

Началом И. как направления считается 1907, когда Л.Э.Я. Брауэр в своей диссертации «Об основаниях знания» подверг острой критике классическую логику и математику и показал, что косметическим ремонтом не устранить выявившееся расхождение понятий существования и построения. Корни многих нежелательных свойств современной математики уходят в саму классическую логику. До 1945-го данное направление развивалось преимущественно в Голландии, хотя некоторые фундаментальные работы были сделаны в России, Австрии и Польше учеными, не причислявшими себя к данному направлению. Ныне самой сильной школой И. остается голландская, но помимо ее имеются, в частности, американская и русская школы.

Изложим основания для выводов Брауэра с несколько модернизированной точки зрения. Согласно теореме Геделя о неполноте, в достаточно богатой теории имеется такая формула G, что ни она, ни ее отрицание недоказуемы. При помощи классической логики легко вывести 3x((G=>x=0)&(-iG=>x=l)). Обозначим данную формулу ЗхА(х). Ни для какого конкретного х₀ нельзя доказать А(х₀).

В теории множеств ситуация ухудшается лишь незначительно. Аксиома выбора дает возможность построить такую доказуемую формулу ЭхВ(х), что нельзя построить формулу С(х), для которой 31хС(х) и Vx(C(x)=>B(x)). Такая же ситуация возникает при использовании альтернативы к аксиоме выбора — аксиомы детерминированности.

Согласно анализу А.А. Маркова, классическая математика базируется на трех абстракциях: отождествления, не позволяющей использовать свойства, различающие равные объекты; потенциальной осуществимости, позволяющей пренебречь физическими ограничениями на реализуемость очень больших конечных объектов и процессов; и актуальной бесконечности, дающей возможность мыслить бесконечные совокупности как завершенные и использовать бесконечные множества и бесконечные процессы для построения других математических объектов. Брауэр принимал две первые абстракции и отверг третью. В этом с ним солидарны почти все нынешние продолжатели конструктивных традиций в математике.

В некоторых разделах современного И. это допущение ослабляется, а в некоторых — усиливается. Но в любом случае принимаются во внимание принципиальные ограничения выполнимых построений: необходимость сведения любой новой задачи к уже решенным, чтобы представить новое построение как композицию старых.

При таком подходе логика не может рассматриваться как нечто данное a priori, она должна подбираться в соответствии с классом рассматриваемых объектов и с классом допустимых методов решения задач. Так, классическая логика оказывается либо логикой конечных объектов, либо логикой всех теоретико-множественных построений с аксиомой выбора.

Сама интерпретация логических формул изменяется в корне. Значения истинности представляют собой нечто второстепенное по сравнению с конкретным построением, проведенным при доказательстве теоремы. Поэтому формулы интерпретируются как задачи, логические связки — как преобразования задач, методы доказательства — как методы сведения новых задач к уже решенным либо принятым в качестве решенных.

Брауэр предложил воспользоваться для перестройки математики логикой, подобной классической, за исключением законов исключенного третьего и снятия двойного отрицания (которые в данном контексте эквивалентны), — интуиционистской логикой. Он отказался от многих объектов, созданных в теоретико-множественной математике, и ограничился теми, которые хотя бы косвенно сводятся к двум исходным сущностям: конструктивным объектам, строящимся как конечные конструкции из конечного числа исходных ясно различимых объектов, и последовательностям выбора, представляющим собой методы последовательного конструирования потенциально бесконечного числа исходных объектов. Примерами последовательностей выбора являются алгоритмы, последовательности измерений физических величин и т.п.

Первоначально Брауэр пытался прямо перестроить основные разделы математики; при этом, в частности, он раньше, чем это было сделано классическими средствами, установил важный результат (теорема о веерах либо лемма Кенига): дерево с конечным ветвлением и конечными путями конечно. Перестройка математики, осуществлявшаяся Брауэром, отличалась максимальной осторожностью при соблюдении принципов конструктивности. Он стремился спасти все, что можно было спасти. Примеры гораздо более жестких подходов продемонстрировали Р. Л. Гудстейн и Н А. Шанин.

Наиболее интересны следующие результаты Брауэра. Операторы над последовательностями выбора должны использовать конечное число значений последовательности для получения конечной выходной информации, и на основе этого доказывается непрерывность интуиционистски определимых функций действительной переменной; Брауэр показал, что на самом деле в разных областях математики использовались разные понятия функции действительной переменной, в частности то, что измеримые функции не следует для конструктивных целей трактовать как операторы над действительными числами.

Сразу же после формализации интуиционистской логики многие математики начали развивать вариации И., либо еще сильнее ограничивая логику, либо еще сильнее ограничивая объекты. Иогансон предложил использовать в качестве основы для И. минимальную логику, но оказалось, что в любой теории, содержащей натуральные числа, интуиционистское отрицание определимо, и переход к минимальной логике ничего нового не дает. Д. Грис предложил рассматривать безотрицательную математику, в которой запрещены пустые понятия типа квадратного круга. Продвижение в данном направлении идет весьма медленно из-за необычности и трудности возникающих конструкций.

Новый импульс исследованиям в области И. дали интерпретация Колмогорова интуиционистской логики и ее формализация А. Гейтингом. На этой основе и на основе точного понятия алгоритма С.К. Клини (США, 1945) дал первую точную классическую модель неклассической математики: понятие реализуемости. В интерпретации Клини стало возможно формально выразить тезис Черча как схему аксиом.

А. А. Марков (1947) и советская школа конструктивизма развили вариант математики, последовательно проводящий идею, что нет ничего, кроме конструктивных объектов, а алгоритмы отождествляются с их программами. Он ввел принцип Маркова, явно разделивший обоснования и построения, разница между которыми с самого начала ощущалась в И. Содержательно принцип Маркова гласит, что для обоснования уже проделанных построений можно пользоваться классической логикой (это показал НА. Шанин, построив алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий любую формулу на явное построение и классическое обоснование данного построения). Польская школа пошла по другому пути, ограничиваясь конструктивными объектами, но сохраняя классическую логику.

Реализуемость выявила, что интуиционистские теории могут расходиться с классическими. Напр., если А(х) — неразрешимое свойство натуральных чисел, то конструктивно верна формула -iVx(A(x)v-A(x)).

Зафиксировав понятие вычислимой последовательности, мы сохраняем свободу при определении операторов высших типов. Первым это показал С.К. Клини, построив общерекурсивную реализуемость, при которой выполнена схема

[Vx(-A(x)=>3yB(x,y))=>Vx3y(-nA(x)=>3yB(x,y)),

выражающая всюду определенность всех функций. Возможность выразить формулами первого порядка те высказывания, для которых в классической логике требуются конструкции высших порядков, — еще одно преимущество И. Принцип Маркова несовместим с данной схемой во всех содержательных интуиционистских теориях, хотя то и другое являются классическими тавтологиями. Э. Бишоп (США, 1960), переопределив вычислимые функционалы, предложил вариант И,, который характеризуется принципом: использовать лишь алгоритмы, но явно этого не говорить. Этот вариант, в дальнейшем развитый многими учеными, в том числе П. Мартин-Лефом, соединил многие преимущества брауэровского и марковского подходов.

Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих под понятие алгоритма. В частности, он предложил две следующие концепции.

«Творческая последовательность». а(п)=0, если в году п не доказана формула А,и а(п)=1, если эта формула доказана.

«Беззаконные последовательности». Вводится новый тип последовательностей, обладающий следующим свойством:

Va(A(a)=>

=> 3nVp (Vm(ma(m)=(3(m))=A((3))), т.е. все, что мы о них знаем, мы знаем из полученной уже информации. Трулстра (Голландия, 1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют модель И., в которой можно промоделировать творческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках. Возможность сформулировать незнание в виде логической формулы — еще одно достижение И.

С конца 70-х гг. 20 в. развиваются идеи приложения И. к программированию, поскольку интуиционистские доказательства могут рассматриваться как полностью обоснованные программы. Как всегда, попытка лобового применения глубоких идеальных концепций оказалась неудачной. В таких случаях нужно искать обходные пути. Ими могут стать системы, основанные на более жестких принципах, не принимающие абстракции потенциальной осуществимости и дающие построения при ограниченных ресурсах. Таковы линейные логики Ж.-И. Жирара, ультраинтуиционистские системы А.С Есенина-Вольпина и СЮ. Сазонова, ниль-потентные логики Н.Н. Непейвода и А.П. Бельтюкова, реверсивные логики Н.Н. Непейвода. Практическую важность таких логик показало рассмотрение программирования, в котором каждый из классов логик соответствует внутренне замкнутой системе методов, плохо сочетающейся с другими такими системами (по стилю программирования).

Многие математики рассматривали приложения И. к теории множеств, расширяющие понятие эффективной операции, и получили ряд глубоких результатов. В частности, аксиома выбора в И. становится почти безвредной, поэтому она концептуально противоречит закону исключенного третьего, а не эффективности построений. Интуиционистские теории возникают также при категорной интерпретации логики.

И., остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других ее направлений, в частности формулировке программы Д. Гильберта. Он выдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Гильберт показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало ущербность плоских прагматических и утилитаристских концепций, а также возможность рациональной альтернативы традиционному рационализму, что до сих пор как следует не использовано современной философией и системологией.

Н.Н. Непейвода

Лит.: Brouwer L.E.J. Over de grondslagen der wiskunde [Об основаниях знания]. Amsterdam — Leipzig, 1907; Brouwer L.E.J. De onbetrouwbaarheid der logische principes [О недостоверности логических принципов] // Tijdskrift. Wijsbegeerte. Vol. 2. 1908; Brouwer L.E.J. Intuitionisme en formalisme. Groningen, 1912; Brouwer L.E.J. Consiousness, philosophy and mathematics // X-th Intern. Congr. of Philos. Amsterdam, 1948. Vol. 1; Brouwer L.E.J. Points and Spaces // Canadian J. of Math. Vol. 6. 1954.