исключенного третьего закон

ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН — один из трех главных законов логики, сформулированных Аристотелем. Его оригинальная формулировка гласит: «Оба утверждения А и не-А не могут быть одновременно ложны».

В «Метафизике» Аристотеля встречается (не как закон, а как способ рассуждения) и другая формулировка И. т. з. («Сильный» И. т. з.), в настоящее время применяемая чаще всего: «Одно из утверждений А или не-А должно быть истинным». Эта формулировка получила в схоластической логике название tertium поп datur. Сам Аристотель показал, что область применимости И. т. з. значительно уже, рассмотрев пример высказывания: «Завтра будет морское сражение», которое сегодня не истинно и не ложно.

На языке математической логики сильный И. т. з. формулируется как Av-iA. Последняя формулировка часто подменяет И. т. з. в современных математизированных работах и называется математическим И. т. з. Но математический И. т. з. не эквивалентен ни сильному И. т. з., ни аристотелеву. В частности, в алгебраической интерпретации со значениями в булевой алгебре выполнены все законы классической логики, но ни А, ни ~А могут быть не истинны. Сильный И. т. з. математически означает полноту используемой теории, что практически никогда не достижимо.

Аристотелев И. т. з. выполнен для интуиционистской логики, а математический И.т.з. носит в ней статус весьма нежелательного утверждения. Одним из способов показать конструктивную неприемлемость утверждения А является доказательство сильного И. т. з., исходя из А. Впервые такой метод явно сформулировал В. Крейнович.

Сильный И. т. з. оказался тем критическим местом, вокруг которого развивались дискуссии в течение всего времени существования логики как науки. Стоики и эпикурейцы рассматривали логики, несовместимые с И. т. з. (как правило, не замечая разницы сильного и аристотелева И. т. з.). Интуиционизм начинался с утверждения о недостоверности сильного И. т. з., но он опровергает его достаточно тонко, сохраняя слабый И. т. з., придавая ему точную математическую формулировку: -i-i(Av-A), которую можно назвать брауэровым И. т.з., и не вводя дополнительных логических значений. Многозначные логики в значительной степени появились как результат простейшей формулировки отрицания сильного И. т. з. (могу быть не два значения, а несколько.)

В целом критику И. т. з. можно подытожить следующим образом. Он пригоден для рассмотрения терминов в фиксированной обстановке с фиксированной точки зрения. Он не подходит для меняющейся обстановки и субъективных понятий. Он не допустим даже для терминов, если нас интересует не просто доказательство, а построение.

Тем не менее во всех перечисленных случаях порою его использование корректно и весьма эффективно, но требует дополнительных обоснований. Так, напр., в элементарной классической геометрии сильный И. т. з. не влечет разрушения конструктивности доказательств.

В современной логике вызывают интерес формулировки, которые влекут (при сохранении других логических правил) И. т. з., как правило, рассматриваемый в форме tertium поп datur. Л. Брауэр, в частности, установил, что закон снятия двойного отрицания -i-A->A влечет в интуиционистской логике tertium поп datur. На самом деле при этом применяется также правило приведения к абсурду ( A — > B ) & ( A — > — i B ) — > — i A. Если, наоборот, отбросить правило приведения к абсурду и принять закон двойного отрицания, то получается понятие сильного, или конструктивного, отрицания. Уже этот пример показывает громадную эвристическую роль исследований И. т. з. в современной логике.

Н.Н. Непейвода