Математическая энциклопедия

Абелев Дифференциал

Абелев Дифференциал
АБЕЛЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности S(см. Дифференциал на римановой поверхности).

Пусть g - род поверхности S; а1b1 а 2b2...agbg циклы канонич. базиса гомологии S. В зависимости от характера особенностей различают А. д. трех родов: I, II и III, причем имеют место строгие включения: А. <д. I рода- это голоморфные всюду на Sдифференциалы 1-го порядка, к-рые в окрестности U ' каждой точки имеют вид где - локальная униформизирующая переменная в U,- голоморфная, или регулярная, аналитич. функция от z в U. Сложение А. д. и умножение на голоморфную функцию определяются естественными правилами: если


то


А. д. I рода образуют векторное пространство размерности g. После введения скалярного произведения


где - внешнее произведениеw на звездно сопряженный дифференциал пространство превращается в гильбертово пространство.

Пусть суть А- и B-периоды А. д. 1 рода , т. е. интегралы


Тогда имеет место соотношение:


Если А'1 ,B'1 ,А'2 ,B'2 ,...,А'g ,B'g , - периоды другого А. д. I рода p, то


Соотношения (1) и (2) наз. билинейными соотношениями Римана для А. д. I рода. Канонич. базис А. д. I рода, т. е. канонич. базис j1 пространства выбирается таким образом, что


где и при При этом матрица (Bi j) i, j=1,2,...,gn B-периодов симметрическая, а матрица мнимых частей положительно определенная. А. д. I рода, у к-рого все A-периоды или все B-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды А. д. I рода действительны, то

А. д. II и III рода относятся, вообще говоря, к мероморфным дифференциалам, т. е. к таким аналитич. дифференциалам, к-рые имеют на Sне более чем конечное множество особенностей типа полюсов с локальным представлением


где - регулярная функция, п - порядок полюса (если ), - вычет в данном полюсе. При полюс наз. простым. А. д. II рода - это мероморфные дифференциалы, у к-рых все вычеты равны нулю, т. е. мероморфные дифференциалы с локальным представлением


А. д. III рода - это А. д. произвольного вида.

Если - произвольный А. д. с A-периодами А 1 , А 2 ,.. ., Ag, то А. д. имеет нулевые А-периоды и наз. нормированным А. д. В частности, если - любые различные точки S, то можно построить нормированный А. д. с особенностями в к-рый наз. нормальным А. д. III рода. Пусть - произвольный А. д. с вычетами в точках соответственно, при этом всегда Если Р 0 - произвольная точка на Sтакая, что можно представить в виде линейной комбинации нормированного А. д. II рода конечного числа нормальных А. д. III рода и базисных А. д. I рода


Пусть - А. д. III рода, имеющий только простые полюсы с вычетами в точках - произвольный А. д.I рода;


причем циклы не проходят через полюсы Пусть точка не лежит на циклах есть путь от P0 к Pj. Тогда имеем билинейные соотношения для А. д. I и III рода:


Между А. д. I и II рода также имеются билинейные соотношения аналогичного вида.