Математическая энциклопедия

Абелев Интеграл

Абелев Интеграл
АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ

алгебраический интеграл,- интеграл от алгебраической функции, т. е. интеграл вида:


где - любая рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

с целыми рациональными по коэффициентами

Уравнению (2) соответствует компактная риманова поверхность F, n -листно накрывающая сферу Римана, на к-рой а следовательно, и рассматриваемые как функции точки поверхности однозначны.

Интеграл (1) задается как интеграл от абелева дифференциала на F, взятый вдоль некоторого спрямляемого пути L. Вообще говоря, задание только начальной и конечной точек этого пути Lне вполне определяет значение А. и. (1), или, что то же, интеграл (1) является, вообще говоря, многозначной функцией от начальной и конечной точек пути L.

Поведение А. и. на Fзависит прежде всего от топологич. структуры, в частности от топологич. инварианта - рода gповерхности F(см. Род поверхности). Род g связан с числом листов пи числом точек ветвления (взятых с надлежащей кратностью) соотношением g=/2- n+1. При переменные выражаются рационально через нек-рый параметр t, и А. и. сводится к интегралу от рациональной функции от t. Так обстоит дело, напр., в элементарных случаях и

При любой А. и. можно выразить в виде линейной комбинации элементарных функций и канонических А. и. трех родов. Интеграл наз. А. и. I рода, если - абелев дифференциал I рода. Иначе, А. и. I рода характеризуется тем, что при фиксированном начале пути Lон является всюду конечной на Fфункцией верхнего предела вообще говоря, многозначной. Эта характеристика используется, напр., при построении аналогов А. и. I рода на некомпактных римановых поверхностях. Любой А. и. I рода может быть представлен в виде линейной комбинации линейно независимых нормальных А. и. I рода


от дифференциалов составляющих канонич. базис абелевых дифференциалов I рода. Если разрезать поверхность Fвдоль циклов канонич. базиса гомологии, то получается односвязная область Для всех путей с фиксированным началом и концом интегралы являются однозначными функциями верхнего предела Многозначность интегралов на теперь полностью характеризуется тем, что интеграл вдоль произвольного пути соединяющего те же точки отличается от интеграла лишь прибавлением целочисленной линейной комбинации A-периодов и В-пе-риодов базисных дифференциалов I рода, составляющих матрицу периодов размера к-рая удовлетворяет билинейным соотношениям Римана (см. А белев дифференциал).

Интеграл где - абелев дифференциал II рода, наз. А. и. II рода. Рассматриваемый как функция от верхнего предела, он всюду на Fне имеет иных особенностей, кроме полюсов. А. и. от нормированного абелева дифференциала II рода наз. нормальным А. и. II рода.

А. и. III рода - это А. и. произвольного вида. На Fони допускают, вообще говоря, и логарифмич. особенности. При этом логарифмич. особенности могут встречаться только попарно. А. и. от нормального абелева дифференциала III рода наз. нормальным А. и. III рода. Любой А. и. можно представить в виде линейной комбинации нормальных А. и. I, II и III рода. В отличие от А. и. I и II рода, А. и. III рода, кроме А- и В-периодов, наз. циклическими периодами, имеет еще, вообще говоря, полярные периоды вдоль циклов, гомологичных нулю, но охватывающих логарифмич. особенности этого А. и., порождаемые полюсами абелева дифференциала с отличными от нуля вычетами.