Математическая энциклопедия

Абелева Категория

Абелева Категория
АБЕЛЕВА КАТЕГОРИЯ

- категория, обладающая рядом характерных свойств категории всех абелевых групп. А. к. были введены как основа абстрактного построения гомологич. алгебры (см. [4]). Категория наз. абелевой (см. [2]), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

А0. Существует нулевой объект.

А1. Каждый морфизм обладает ядром и коядром.

А2. Каждый мономорфизм является нормальным мономорфизмом, каждый эпиморфизм является нормальным эпиморфизмом.

A3. Для каждой пары объектов существуют произведение и копроизведение.

Часто в определении А. к. дополнительно предполагается, что локально малая слева категория (см. Малая категория). Для А. к. это предположение равносильно локальной малости справа и, следовательно, локальной малости. Копроизведение объектов A и B А. к. наз. также прямой суммой этих объектов и обозначают или

Примеры А. к.

1) Категория, двойственная А. к., также является А. к.

2) Категория всех левых унитарных модулей над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей и всех R-модульных гомоморфизмов является А. к. (напр., категория всех абелевых групп).

3) Всякая полная подкатегория А. к., содержащая вместе с каждым морфизмом его ядро и коядро и вместе с каждой парой объектов А, В - их произведение и копроизведение, есть А. к.

Все малые А. к. исчерпываются подкатегориями указанного типа категорий левых унитарных модулей, а именно, справедлива следующая теорема Митчелла: для всякой малой А. к. существует полное точное вложение в нек-рую категорию

4) Всякая категория диаграмм со схемой над А. к. является А. к. В схеме можно выделить множество Ссоотношений коммутативности, т. е. множество пар путей

в с общими началом и концом. Тогда полная подкатегория категории порожденная всеми такими диаграммами D: что


является А. к. В частности, если - малая категория, а множество Ссостоит из всех пар вида где то соответствующая подкатегория является А. к. одноместных ковариантных функторов из

Пусть в малой категории есть нулевой объект; функтор F: наз. нормализованным, если он переводит нулевой объект в нулевой объект. Полная подкатегория категории функторов, порожденная нормализованными функторами, является А. к. В частности, если - категория, объектами к-рой служат все целые числа и нулевой объект N, а ненулевые неединичные морфизмы образуют последовательность


в к-рой то соответствующая подкатегория, порождаемая нормализованными функторами, наз. категорией комплексов над В категории комплексов определяются аддитивные функторы соответственно n-мерных циклов, n-мерных граней и n-мерной гомологии со значениями в и на их основе развивается аппарат гомологич. алгебры.

5) Полная подкатегория А. к. наз. плотной, если она содержит подобъекты и факторобъекты своих объектов и если в точной последовательности


тогда и только тогда, когда Факторкатегория строится следующим образом. Пусть - подобъект прямой суммы с проекциями и пусть квадрат