Математическая энциклопедия

Абсолют

Абсолют
АБСОЛЮТ

- 1) А. регулярного топологического пространства X - пространство аХ, обладающее тем свойством, что оно совершенно и неприводимо отображается на X, а всякий совершенный неприводимый прообраз пространства аХ гомеомор-фен пространству аХ. У каждого регулярного пространства Xимеется единственный А. При этом А. пространства Xвсегда экстремально несвязан и вполне регулярен и отображается на Xсовершенно и неприводимо посредством отображения Если два пространства Xи У связаны (однозначным или многозначным) совершенным неприводимым отображением то их А. гомеоморфны и существует такой гомеоморфизм

Если дан гомеоморфизм то отображение, вообще говоря, многозначное, неприводимо и совершенно. Таким образом, А. и их гомеоморфизмы "управляют" всем классом совершенных неприводимых отображений регулярных пространств. Это фундаментальное свойство означает, что А. регулярных топологич. пространств являются проективными объектами в категории регулярных пространств и совершенных неприводимых отображений. Если регулярное пространство X, соответственно, бикомпактно, финально компактно, полно в смысле Чеха, то тем же свойством обладает и А. этого пространства. У пара-компактного пространства А. даже сильно паракомпак-тен и, более того, совершенно нульмерен. Но А. нормального пространства может не быть нормальным. Если X - вполне регулярное пространство, то расширение Стоуна - Чеха (см. Стоуна - Чеха бикомпактное расширение).его А. является А. любого бикомпактного расширения пространства X. Два пространства называются соабсолютными, если их А. гомеоморфны.

Таким образом, класс регулярных пространств разбивается на дизъюнктные (попарно непересекающиеся) классы соабсолютных пространств. Пространство Xсоабсолютно с некоторым метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно является паракомпакт-ным перистым пространством и в нем существует плотная s-дискретная система открытых множеств. Бикомпакт соабсолютен с нек-рым компактом в том и только том случае, когда он имеет счетный p-вес. Если бикомпакт имеет счетный p-вес и не имеет изолированных точек (и только в этом случае), то он соабсолютен с кан-торовым совершенным множеством. Следовательно, все компакты без изолированных точек соабсолютны с канторовым совершенным множеством. А. счетного компакта является расширением Стоуна - Чеха пространства натуральных чисел. А. экстремально несвязного пространства гомеоморфен ему. Таким образом, класс А. (каких бы то ни было) регулярных пространств совпадает с классом экстремально несвязных пространств. Так как недискретное-экстремально несвязнов пространство не содержит никакой сходящейся последовательности попарно различных точек, А. любого недискретного пространства неметризуем (и даже не удовлетворяет первой аксиоме счетности).

Среди многочисленных способов построения абсолюта а К данного (регулярного) пространства Xодним из простейших является следующий.

Семейство непустых канонич. cа-множеств, т. е. замкнутых канонич. множеств Апространства X, наз. нитью, если оно направлено по включению, т. е. если ко всяким двум элементам А, семейства x существует элемент содержащийся в Нить x наз. максимальной, или концом, если она не является подсемейством никакой отличной от нее нити. Можно доказать, что нити существуют; более того, что для каждого непустого множества Амножество DA всех нитей, содержащих множество Ав качестве элемента, непусто. Каждая нить содержится в нек-рой максимальной нити. Пересечение всех множеств, являющихся элементами максимальной нити или пусто, или состоит из единственной точки в последнем случае нить наз. сходящейся (к точке ). В множестве всех концов вводят топологию, объявляя совокупность всех множеств ее замкнутой базой. Полученная топология оказывается хаусдорфовой и бикомпактной. Сходящиеся концы в бикомпакте образуют всюду плотное подпространство. Подпространство пространства состоящее из всех сходящихся концов, и есть абсолют пространства X;при этом оказывается, что бикомпакт есть не что иное, как максимальное бикомпактное расширение Стоуна - Чеха абсолюта Если же Xне только регулярно, но и вполне регулярно, то имеет место формула переместительности операторов :


В. И. Пономарев.