Математическая энциклопедия

Абсолютно Интегрируемая Функция

Абсолютно Интегрируемая Функция
АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ

функция, у к-рой интегрируема ее абсолютная величина. Если функция интегрируема по Риману на отрезке то ее абсолютная величина интегрируема по Риману на этом отрезке и


Аналогичное утверждение справедливо для функции ппеременных, интегрируемой по Риману на кубируемой области га-мерного евклидова пространства. Обратное утверждение для функций, интегрируемых по Риману, не справедливо: функция равная 1 для рациональных хи - 1 для иррациональных, не интегрируема по Риману, а ее абсолютная величина интегрируема. Для функций, интегрируемых по Лебегу, дело обстоит иначе: функция интегрируема по Лебегу (суммируема) на измеримом множестве Е n -мерного пространства тогда и только тогда, когда на этом множестве интегрируема по Лебегу ее абсолютная величина, при этом справедливо неравенство:


В случае несобственных одномерных интегралов в смысле Римана или Лебега по промежутку (при условии, что функция f(x) интегрируема по Риману или, соответственно, по Лебегу на любом отрезке ) из существования несобственного интеграла от абсолютной величины функции


следует и существование интеграла


но не наоборот (см. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл). При этом, если существует несобственный интеграл


то функция f(х).интегрируема по Лебегу на промежутке [ а, b).и несобственный интеграл от нее равен интегралу Лебега.

В случае функций многих переменных (число к-рых n>1) несобственные интегралы обычно определяются таким образом, что существование несобственного интеграла от абсолютной величины функции равносильно существованию несобственного интеграла от самой функции.

Пусть значения функции принадлежат нек-рому банахову пространству с нормой Тогда функция наз. абсолютно интегрируемой на измеримом множестве Е, если существует интеграл


при этом, если функция интегрируема на Е, то


Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк 9. Г., Основы математического анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3]Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [4] Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972. Л. <Д. <Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985