Математическая энциклопедия

Абстракция Актуальной Бесконечности

Абстракция Актуальной Бесконечности
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

одна из математических идеализации, связанная с определенной формой идеи бесконечности в математике - с идеей так наз. актуальной бесконечности.

В применении к потенциально неограниченно продолжимым конструктивным процессам (таким, напр., как процесс последовательного, отправляясь от нуля, порождения натуральных чисел) А. а. б. состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этих процессов и в равноправном затем рассмотрении результатов воображаемого завершения этих процессов - множеств порождаемых ими объектов, причем эти результаты начинают восприниматься нашим сознанием в качестве актуальных, "готовых" объектов рассмотрения. Применение А. а. б. в указанном выше примере позволяет нам считать математич. объектом множество всех натуральных чисел - натуральный ряд.

В логич. аспекте последовательное принятие А. а. б. ведет к принятию в качестве логич. принципа закона исключенного третьего.

Особую роль А. а. б. играет при построении математики на базе общей теории множеств, созданной Г. Кантором (G. Cantor). Являясь далеко идущей идеализацией, А. а. б., особенно при многократном применении ее в переплетении с другими идеализациями, порождает объекты, "осязаемость" к-рых становится косвенной, вследствие чего решение проблемы понимания суждений о таких объектах наталкивается на определенные трудности. Неограниченное применение А. а. б. в математике в качестве правомерного средства образования математич. объектов встречало возражения со стороны ряда математиков [Л. Кронекер (L. Kronecker), К. Гаусс (К. Gauss), Д. Гильберт (D. Hilbert), Г. Вейль (Н. Weyl) и др.]. Позитивные программы построения математики на базе абстракции потенциальной осуществимости без использования А. а. б. предложили Л. Э. Я. Брауэр (L. E. J. Brouwer, см. Интуиционизм).и А. А. Марков (см. Конструктивная математика).

См. также Абстракция .математическая.

Н. М. Нагорный.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985