Математическая энциклопедия

Адамса Метод

Адамса Метод
АДАМСА МЕТОД

- конечно разностный метод решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений 1-го порядка


При интегрировании по сетке с постоянным шагом расчетные формулы имеют вид: а) экстра-поляционные


б) интерполяционные


При одном и том же kформула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения

На практике находят приближение из а), а затем приводят одно-два уточнения по формуле


уточнения сходятся при условии Начальные условия для А. м., необходимые для начала вычислений по формулам а), определяются каким-либо специальным образом. Погрешность решения записывается в виде


где - решение системы


Структура члена такова, что обычно при малых hон равномерно мал по сравнению с главным членом на больших промежутках интегрирования. Это обстоятельство обеспечивает возможность применения А. м. на больших промежутках интегрирования в случае абсолютно устойчивого решения дифференциальной задачи; в частности, в отличие от Милна метода, его можно применять для отыскания устойчивых периодич. решений дифференциальных уравнений. Стандартная программа А. м. интегрирования с автоматич. выбором шага существенно сложнее стандартной программы Рун ге - Кутта метода, вследствие более сложного алгоритма при изменении шага и нестандартного выбора начальных значений

Для случая уравнений расчетная формула а) имеет вид:


Это уравнение имеет частные решения где - корень уравнения


Если то среди корней этого уравнения есть корень , и ошибки округления сильно возрастают. При интегрировании с автоматич. выбором шага в ряде случаев это обстоятельство вызывает неоправданное измельчение шага. Однако в большинстве случаев А. м. оказывается несколько более экономичным по сравнению с методом Рунге - Кутта. А. м. предложен впервые Дж. К. Адамсом (J. С. Adams, 1855).

Лит.:[1] Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Бахвало в Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Тихонов А. Н., Горбунов А. <Д., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 4, с. 537-48; [4] Лозинский С. М., "Изв. высш. учебн. заведений. Математика", 1958, М" 5, с. 52-90; [5] Беленький В. 3., в сб.: Вычислительные методы и программирование, М., 1965, с. 253-61; [6] Бахвалов Н. С., "Докл. АН СССР", 1955, т. 104, № 5, с. 683-86. Я. С. Бахвалов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985