Математическая энциклопедия

Аддитивная Категория

Аддитивная Категория
АДДИТИВНАЯ КАТЕГОРИЯ

-категория С, в к-рой для любых двух объектов на множестве морфиз-мов определена структура абелевой группы таким образом, что композиция морфизмов


является билинейным отображением. Кроме того, требуется, чтобы в Ссуществовал нулевой объект (или нуль), а также произведение любых двух объектов

В А. к. существует прямая сумма любых двух объектов, к-рая изоморфна их произведению Двойственная категория к А. к. также является А. к.

Функтор F:. из А. к. С в А. к. наз. аддитивным, если для любых объектов Xи Yкатегории С отображение F: является гомоморфизмом соответствующих абелевых групп. А. к. наз. предабелевой, если для любого морфизма существует ядро и коядро.

Если для морфизма и: в А. к. существует образ и кообраз то определен единственный морфизм и: такой, что морфизм иразлагается в композицию


Каждая абелева категория по определению аддитивна. Примерами аддитивных неабелевых категорий могут служить категория топологич. модулей над заданным топологич. кольцом относительно морфизмов, являющихся непрерывными линейными отображениями, а также категория абелевых групп с фильтрацией Г относительно морфизмов, являющихся гомоморфизмами групп, сохраняющими фильтрацию.

Лит.:[1] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [3] Gruson L., "Bull. sci. math.", 1966, V. 90, №1, p. 17-40. И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985