Математическая энциклопедия

Аддитивная Теория Чисел

Аддитивная Теория Чисел
АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

раздел теории чисел, в к-ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз. аддитивными задачами. Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении больших чисел.

К классич. проблемам А. т. ч. относятся: задача о представлении числа суммой четырех квадратов, девяти кубов и т. д. (см. Варинга проблема);задача о представлении числа в виде суммы не более трех простых (см. Гольдбаха проблема);задача о представлении числа в виде суммы простого и двух квадратов (см. Харди - Литлвуда проблема).и другие аддитивные проблемы. Для решения задач А. т. ч. применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы, а также методы, основанные на вероятностных соображениях. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел - аналитич. теорию чисел, алгебраич. теорию чисел, вероятностную теорию чисел.

Первые систематич. результаты в А. т. ч. были получены Л. Эйлером (L. Euler, 1748), к-рый исследовал с помощью степенных рядов разложения целых чисел на положительные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых.

Многие классич. задачи А. т. ч. решаются методом редукции к производящим функциям, к-рый восходит к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитич. методов, развитых Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литлвудом (J. Е. Littlewood) и И. М. Виноградовым. Исходной является идея сопоставления заданным последовательностям степенных рядов


с производящей функцией


где - количество представлений числа пв виде


При этом вычисляется при помощи интеграла Ко-ши. В методе Виноградова степенные ряды заменяются тригонометрич. суммами


Из r(п).выделяется главная часть, состоящая из интервалов, распространенных на окрестности нек-рых рациональных точек. Вместо аналитич. свойств требующих в ряде задач А. т. ч. привлечения гипотез, аналогичных Римана гипотезе, центральную роль при вычислении r(n) играют чисто арифметич. оценки тригонометрич. сумм по методу Виноградова и законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях, получаемые трансцендентными методами теории L- функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости от kлибо для всех либо для достаточно больших п , либо для почти всех пвыполняется соотношение т. е.


или, наконец, для имеется асимптотич. формула. Наименьшее число k, удовлетворяющее одному из перечисленных условий, обозначается соответственно В случае - последовательность простых чисел, при получается теорема Виноградова: всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел; при - теорема Чудакова: почти все четные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел.

Нек-рые задачи А. т. ч. решаются при помощи исследования структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей заданных лишь их плотностями где

Из положительности при уже следует, что Применение этого факта к задачам А. т. ч., в к-рых суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется путем конструирования из данных последовательностей новых последовательностей с положительной плотностью. Ведущую роль при этом играют решета методы, с помощью к-рых доказывается положительность Таким способом Л. Г. Шнирельманом доказана теорема о представимости натуральных чисел в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых, Ю. В. Линником найдено элементарное решение проблемы Варинга.