Математическая энциклопедия

Адиабатический Инвариант

Адиабатический Инвариант
АДИАБАТИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ

термин фи-зич. происхождения с математически не вполне точным содержанием. Обычно А. и. определяются как количественные характеристики движения гамильтоновой системы, почти не изменяющиеся при адиабатическом (т. е. очень медленным по сравнению с характерным масштабом времени для движения в системе) изменении ее параметров (к-рое может продолжаться столь долго, что значения самих этих параметров, в отличие от А. и., значительно изменяются). Так, для простейшей системы


где - малый параметр, а - положительная достаточно гладкая функция, А. и. служит


При система описывает обычный гармо-нич. осциллятор с частотой таким образом, в данном случае при медленном (по сравнению с периодом колебания) изменении параметров системы ее энергия + меняется пропорционально частоте. Как и в этом примере, обычно подразумевается, что если бы параметры вообще не изменялись, то рассматриваемая гамильтонова система была бы вполне интегрируемой и ее движения были бы квазипериодическими (в данном примере - просто периодическими); известны и другие обобщения. Во многих работах математиков или специалистов по небесной механике, посвященных гамильтоновым системам, близким к вполне интегрируемым, термин "А. и." не используется, хотя полученная там информация позволяет утверждать, что те или иные величины в том или ином случае являются А. и.

"Приближенное сохранение" А. и. означает, что при всех рассматриваемых разность остается малой. (При этом производная вполне может быть величиной того же порядка, что и производные других параметров системы, лишь бы с течением времени изменения А. и. не накапливались.) Такое приближенное сохранение может иметь место либо на очень большом, но конечном промежутке времени (временные А. и.), либо на всей бесконечной оси t (стационар-н ы е, или вечные, А. и.; см. [1]). Слова "медленное изменение параметров системы" можно уточнять двумя способами: а) функция Гамильтона Нявно зависит от времени t(система неавтономна), но производная мала; б) рассматриваемая система с канонич. переменными представляет собой подсистему в большей системе с переменными к-рая уже автономна и такова, что либо изменяются медленно, либо их изменение слабо влияет на подсистему.

При всех этих подстановках существование А. и. можно утверждать лишь при различных дополнительных предположениях, к-рым трудно дать отчетливую общую формулировку (см., напр., [1]). Временные А. и. для систем описанного выше типа фактически относятся к асимптотич. методам теории возмущений (при более общей постановке также имеются нек-рые строгие результаты, см. [4]). При доказательстве временной асимптотич. инвариантности к.-л. величины обычно строится другая величина с теми свойствами, что значения осциллируют возле имеет более высокий порядок малости, чем производные других параметров системы. Так, в примере для = (штрих обозначает производную от со по аргументу ) непосредственное дифференцирование дает это гарантирует, что - временной А. и. Существование вечных А. и. в случае а) при сколько-нибудь общем характере зависимости Нот t(исключающем, в частности, периодичность или существование пределов при ) сомнительно. Для случая б) вопрос о вечных А. и. связан с малыми знаменателями (см. [2]).

Исторически А. и. играли важную роль в квантовой теории Бора - Зоммерфельда, где имелся рецепт: величины, подлежащие квантованию,- А. и. С созданием последовательной квантовой механики этот рецепт потерял значение. В современной физике А. и. используются при исследовании движения заряженных частиц в электромагнитных полях (см. [3]). Здесь чаще всего фигурирует отношение , где Н - величина напряженности магнитного поля, - компонента скорости частицы, лежащая в плоскости, перпендикулярной к вектору Н;это отношение является А. и. при условии, что магнитное поле мало изменяется по длине ларморовского радиуса.

Кроме того, в квантовой механике при адиабатическом изменении состояния нек-рые величины сохраняют свои значения (напр., квантовые числа), исключая процессы, приводящие к вырожденным состояниям системы. Поэтому в квантовой механике тоже можно говорить об А. и., однако они не играют в ней особой роли и даже сам этот термин там обычно не вводится.

Лит.:[1] Мандельштам Л. И., Андронов А. А., Леонтович М. А., "Журнал Русского физико-химического о-ва", 1928, т. 60, № 5, с. 413-19; [2] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, № 6, с. 91-192; [3] Нортроп Т., Адиабатическая теория движения заряженных частиц, пер. с англ., М., 1967; [4] Kasuga Т., "Proc. Japan. Acad.", 1961, v. 37, № 7, p. 366-82.

Д. В. Аносов, А. П. Фаворский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985