Математическая энциклопедия

Адическая Топология

Адическая Топология
АДИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

- линейная топология кольца А, в к-рой фундаментальная система окрестностей нуля образована степенями нек-рого двустороннего идеала В этом случае топология наз. адической, а идеал - идеалом определения топологии. Замыкание любого множества в -адической топологии равно в частности, топология отделима тогда, и только тогда, когда Отделимое пополнение кольца Ав -адической топологии изоморфно проективному пределу

Аналогично определяется -адическая топология А-модуля М:ее фундаментальная система окрестностей нуля задается подмодулями в -адической топологии Мстановится топологическим А-модулем.

Пусть - коммутативное кольцо с единицей в адической топологии и - его пополнение; если - идеал конечного типа, то топология в является адической, а Если - максимальный идеал, то Аявляется локальным кольцом с максимальным идеалом Топологией локального кольца считается А. т., определяемая максимальным идеалом (т-а дическая топология).

Для изучения А. т. колец фундаментальной является лемма Артина- Риса: пусть Аесть коммутативное нётерово кольцо, есть идеал в А, Е есть А-модуль конечного типа и F- подмодуль модуля Е. Тогда существует такое k, что для любого выполняется равенство


Топологич. интерпретация леммы Артина - Риса показывает, что -адическая топология на Fиндуцирована -адической топологией модуля Е. Отсюда следует, что пополнение кольца Ав -адической топологии является плоским Л-модулем (см. Плоский модуль), что пополнение А-модуля Еконечного типа совпадает с а также теорема Крулля: адическая топология нётерова кольца отделима тогда, и только тогда, когда множество не содержит делителей нуля. В частности, топология отделима, если содержится в радикале (Джекобсона) кольца.

Лит.:[1]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971. В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985