Математическая энциклопедия

Алгебры Основная Теорема

Алгебры Основная Теорема
АЛГЕБРЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Ч теорема, утверждающая, что любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел. А. о. т. была высказана впервые А, Жираром (A. Girard, 1G29) и Р. Декартом (Н. Descartes, 1637) в формулировке, отличной от современной. К. Маклорен (С. Maclaurin) и Л. Эйлер (L. Euler) уточнили формулировку А. о. т., придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами. Ж. Д'Аламбер (J. D'Alembert) первым в 1746 опубликовал доказательство А. о. т. Во 2-й пол. 18 в. появляются доказательства Л. Эйлера, П. Лапласа (P. Laplace), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) и др. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. К. Гаусс (С. Gauss) первый доказал А. о. т. без предположения, что корни существуют. Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена. Во всех доказательствах А. о. т. используются в той или иной форме топологич. свойства действительных и комплексных чисел. Роль топологии была сведена в конечном итоге к единственному предложению, согласно к-рому многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет действительный корень.

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, изд. 9, М., 1968, с. 147Ч55, 345Ч49; [2] Пенг С, Алгебра, М., 1968, с. 230Ч31; [3] Башмакова И. Г., сб. «Историко-математичеекие исследования», 1957, в. 10, с. 257Ч304.

В. Н. Ремесленников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985