Математическая энциклопедия

Алгебра Мер

Алгебра Мер
АЛГЕБРА МЕР

- алгебра М(G).комплексных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе G, имеющих ограниченную вариацию, с обычными линейными операциями и сверткой в качестве умножения (см. Гармонический анализ абстрактный). Свертка полностью определяется из условия, что для любой непрерывной функции f на Gс компактным носителем


Если за норму в М(G).принять полную вариацию меры, то М(G).становится коммутативной банаховой алгеброй над полем комплексных чисел. А. м. М(G).обладает единицей, к-рой служит -мера, сосредоточенная в нуле группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся в M(G), образует замкнутую подалгебру.

Каждой функции f, принадлежащей групповой алгебре может быть поставлена в соответствие мера по правилу



(интеграл по мере Хаара). При этом возникает изометрическое изоморфное вложение Образ при этом вложении является замкнутым идеалом в M(G). Преобразованием Фурье - Стилтьеса меры наз. функция m на двойственной группе определяемая формулой:


При этом В частности, М(G).есть алгебра без радикала.

Если группа G не дискретна, то А. м. М(G).устроена весьма сложно: она не симметрична, и ее пространство максимальных идеалов обладает рядом патологич. свойств. Напр., это пространство содержит бесконечномерные аналитич. образования, а естественно вложенная в него группа не плотна даже в границе Шилова. Вместе с тем известны идемпотентные меры, т. е. такие, что Каждая идемпотентная мера есть конечная целочисленная комбинация причем -мера Хаара компактной подгруппы, а - характер. В случае это приводит к тому, что последовательность из 0 и 1 тогда и только тогда есть преобразование Фурье - Стилтьеса нек-рой меры на окружности, когда не более чем в конечном числе членов отличается от периодич. последовательности.

В общем случае теорема об идемпотентных мерах допускает естественную интерпретацию в терминах нульмерных когомологий пространства максимальных идеалов. Удовлетворительное описание известно и для других групп когомологий пространства максимальных идеалов А. м., что, в частности, позволяет судить о возможности логарифмировать обратимую меру из М(G).(одномерные целочисленные когомологий).

Лит.:[1] Rudin W., Fourier analysis on groups, N.Y.- L., 1962; [2] Тау1оr J. L., "Acta math.", 1971, v. 126, № 3-4, p. 195-225. Е. А. Горин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985