Математическая энциклопедия

Алгебра Множеств

Алгебра Множеств
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

- непустая совокупность подмножеств нек-рого множества W, замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы нек-рый класс подмножеств множества W был А. м., достаточно (и необходимо), чтобы он был замкнут относительно образования объединений и дополнений. А. м., замкнутая относительно образования счетных объединений, наз. -алгеброй множеств ( -А. <м.). Всякая -А. м. замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе.

Примеры. 1) Совокупность конечных подмножеств произвольного множества W и дополнений к ним есть А. м.; совокупность не более чем счетных подмножеств W и дополнений к ним есть -А. м.

2) Совокупность конечных объединений интервалов вида

образует А. м.

3) W- топологич. пространство; -А. м. В, порожденная открытыми подмножествами W (иными словами, наименьшая -А. м., содержащая все открытые подмножества W), наз. борелевской -алгеброй подмножеств W, а множества, принадлежащие В, наз. борелевскими множествами.

4) где Т- произвольное множество (т. е. W - множество всех действительных функций на Т);класс Амножеств вида


где Е- борелевское подмножество , образует А. м.; в теории случайных процессов вероятностная мера часто задается первоначально лишь для множеств из алгебры этого типа и затем доопределяется на более широком классе множеств (на -алгебре, порожденной А).

5) Совокупность измеримых по Лебегу подмножеств образует -А. м.

Алгебры (соответственно -алгебры) являются естественной областью определения конечно аддитивных (соответственно -аддитивных) мер. По теореме о продолжении меры всякая -конечная -аддитивная мера, заданная на алгебре А, может быть однозначно продолжена до -аддитивной меры, определенной на -алгебре, порожденной А.

Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1977—1985